Exercício 3. Calcule as integrais duplas abaixo.
, onde
é a região delimitada pelo semicírculo
e o eixo
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é a região limitada pelo semicírculo dado por
e pelo eixo
(isto é, a metade direita do disco de raio 2).
Passo 2
Para descrever
em coordenadas cartesianas, vemos que
Mas, como a função e a região são circulares, vamos usar coordenadas polares:
Passo 3
Em polares, o semicírculo de raio 2 à direita corresponde a
A integral fica
Passo 4
Calculemos primeiro a integral interna em
:
Fazendo
, temos
, logo
Passo 5
Agora a integral em
é trivial, pois o resultado anterior não depende de
: