Exercício 3. Calcule as integrais duplas abaixo.
integral duplaD e^-x^2-y^2 d A, onde D é a região delimitada pelo semicírculo x=raiz4-y^2 e o eixo y;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaD e^-x^2-y^2,dA
onde D é a região limitada pelo semicírculo dado por x=raiz4-y^2 e pelo eixo y (isto é, a metade direita do disco de raio 2).

Passo 2

Para descrever D em coordenadas cartesianas, vemos que
-2<= y<= 2, 0<= x<= raiz4-y^2
Mas, como a função e a região são circulares, vamos usar coordenadas polares:
x=rcostheta, y=rsintheta, dA = r,dr,dtheta

Passo 3

Em polares, o semicírculo de raio 2 à direita corresponde a
0<= r<= 2, -tfracpi2<= theta<= tfracpi2
A integral fica
integral duplaD e^-x^2-y^2,dA = integraltheta=-pi2^pi2 integralr=0^2 e^-r^2 ,r,dr,dtheta

Passo 4

Calculemos primeiro a integral interna em r:
integral0^2 r,e^-r^2,dr
Fazendo u=r^2, temos du=2r,dr, logo
integral0^2 r,e^-r^2,dr = 12integralu=0^4 e^-u,du = 12l[-e^-ur]0^4 = 12l(1 - e^-4r)

Passo 5

Agora a integral em theta é trivial, pois o resultado anterior não depende de theta:
integral-pi2^pi2 12l(1-e^-4r) ,dtheta = 12l(1-e^-4r)times l(tfracpi2-(-tfracpi2)r) = 12l(1-e^-4r)pi

Resposta

integral duplaD e^-x^2-y^2,dA = pi2,l(1 - e^-4r)

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