Prove que
e
são subconjuntos de
.
Passo 1
Beleza, o enunciado tá pedindo pra gente provar que
-
é subconjunto de -
é subconjunto de
Isso faz parte da teoria de conjuntos, mais especificamente de noções de “subconjunto” e “união de conjuntos”.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Definição de subconjunto (
) - Definição de união (
) - Um argumento padrão de “pegar um elemento genérico” e mostrar que ele pertence ao outro conjunto
Passo 2
Primeiro, a teoria:
- Dizemos que
(lê-se “ é subconjunto de ”) se todo elemento de também estiver em . - A união
é o conjunto de todos os elementos que estão em ou em (ou em ambos).
Então, para provar, basta mostrar que qualquer elemento que esteja em também está em .
Passo 3
Vamos ao “pegar um elemento genérico”:
- Suponha que
seja um elemento de . Escrevemos: - Pela definição de união, um elemento está em
se ele está em ou em . - Mas já sabemos que
está em . Logo, satisfaz “estar em ou em ”. - Concluímos então
- Como escolhemos
de modo completamente genérico, isso prova que todo elemento de vai estar em .
Portanto:
Passo 4
Agora fazemos a mesma coisa para
:
- Pegue um elemento genérico
. - Pela definição de união,
se ou . - Sabemos que
, então a condição “ou” já está satisfeita. - Logo
- Como
era qualquer elemento de , concluímos
Resposta
Prova completa: