Prove que A e B são subconjuntos de A cup B.

Passo 1

Beleza, o enunciado tá pedindo pra gente provar que
  1. é subconjunto de
  2. é subconjunto de
Isso faz parte da teoria de conjuntos, mais especificamente de noções de “subconjunto” e “união de conjuntos”.
O que vamos precisar:
  • Definição de subconjunto ( )
  • Definição de união ( )
  • Um argumento padrão de “pegar um elemento genérico” e mostrar que ele pertence ao outro conjunto

Passo 2

Primeiro, a teoria:
  • Dizemos que (lê-se “ é subconjunto de ”) se todo elemento de também estiver em .
  • A união é o conjunto de todos os elementos que estão em ou em (ou em ambos).
    Então, para provar , basta mostrar que qualquer elemento que esteja em também está em .

Passo 3

Vamos ao “pegar um elemento genérico”:
  1. Suponha que x in A seja um elemento de x in Acup B . Escrevemos: A subseteq Acup B
  2. Pela definição de união, um elemento está em se ele está em ou em .
  3. Mas já sabemos que está em . Logo, satisfaz “estar em ou em ”.
  4. Concluímos então
  5. Como escolhemos de modo completamente genérico, isso prova que todo elemento de vai estar em .
    Portanto:

Passo 4

Agora fazemos a mesma coisa para y in Acup B :
  1. Pegue um elemento genérico B subseteq Acup B .
  2. Pela definição de união, se ou .
  3. Sabemos que , então a condição “ou” já está satisfeita.
  4. Logo
  5. Como era qualquer elemento de , concluímos

Resposta

Prova completa:

Exercícios relacionados