Prove que
é um subconjunto de
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que
Estamos trabalhando com teoria de conjuntos. Para resolver isso, vamos precisar:
- Definir o que é
(diferença de conjuntos). - Definir o que é
(complemento de um conjunto). - Usar o método padrão de prova de inclusão: “pegar um elemento genérico de
e mostrar que ele está em ”.
Passo 2
Relembrando as definições:
-
-
- Para provar
, basta assumir um elemento e mostrar que .
Passo 3
Vamos começar a prova de inclusão.
Suponha que seja um elemento arbitrário de
. Isso significa, pela definição de diferença:
Suponha que
Passo 4
Da segunda parte
, vemos diretamente que
satisfaz a condição para pertencer a
, pois
Logo,
.
Passo 5
Como
foi um elemento genérico de
e nós mostramos que
, concluímos que todo elemento de
também está em
. Por isso: