Prove a Lei Distributiva à direita: (B cup C) cap A=(B cap A) cup(C cap A).

Passo 1

Beleza, o que a gente tem que provar é a Lei Distributiva à direita em teoria de conjuntos, ou seja:

Isso é do conteúdo de operações com conjuntos (união, interseção e igualdade entre conjuntos). Para mostrar que dois conjuntos são iguais, a gente normalmente faz uma prova de inclusão dupla:
  1. Mostra que todo elemento de está em .
  2. Mostra que todo elemento de está em .
    Usaremos definições básicas:
  • significa “ ou ”.
  • significa “ e ”.

Passo 2

Mostrando x in (B cup C),cap,A .
Pegamos um elemento qualquer x in (Bcap A)cup(Ccap A) tal que
Pelas definições, isso quer dizer:
  1. , e
  2. .
    Da parte 1) a gente sabe que “ ou ”.
  • Se , como também , temos .
  • Se , como também , temos .
    Em qualquer caso, está em ou em . Logo
Isso mostra a inclusão desejada.

Passo 3

Mostrando x in (Bcap A),cup,(Ccap A) .
Agora seja tal que
Então “ ” ou “ ”.
  • Se , então e . Daí claramente (porque já basta) e também . Então .
  • Se , por analogia, (que é o mesmo que ) e , logo .
    Em ambos os casos vai parar em . Assim fechamos a segunda inclusão.

Resposta

Como provamos as duas inclusões, concluímos que
(B cup C)cap A ;=;(Bcap A);cup;(Ccap A),
ou seja, a Lei Distributiva à direita está demonstrada.

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