Prove a Lei Distributiva à direita:
.
Passo 1
Beleza, o que a gente tem que provar é a Lei Distributiva à direita em teoria de conjuntos, ou seja:
Isso é do conteúdo de operações com conjuntos (união, interseção e igualdade entre conjuntos). Para mostrar que dois conjuntos são iguais, a gente normalmente faz uma prova de inclusão dupla:
Isso é do conteúdo de operações com conjuntos (união, interseção e igualdade entre conjuntos). Para mostrar que dois conjuntos são iguais, a gente normalmente faz uma prova de inclusão dupla:
- Mostra que todo elemento de
está em . - Mostra que todo elemento de
está em .
Usaremos definições básicas:
-
significa “ ou ”. -
significa “ e ”.
Passo 2
Mostrando
.
Pegamos um elemento qualquer tal que
Pegamos um elemento qualquer
Pelas definições, isso quer dizer:
-
, e -
.
Da parte 1) a gente sabe que “ou ”.
- Se
, como também , temos . - Se
, como também , temos .
Em qualquer caso,está em ou em . Logo
Isso mostra a inclusão desejada.
Passo 3
Mostrando
.
Agora seja tal que
Agora seja
Então “
” ou “
”.
- Se
, então e . Daí claramente (porque já basta) e também . Então . - Se
, por analogia, (que é o mesmo que ) e , logo .
Em ambos os casosvai parar em . Assim fechamos a segunda inclusão.
Resposta
Como provamos as duas inclusões, concluímos que
ou seja, a Lei Distributiva à direita está demonstrada.