Prove o Teorema de De Morgan generalizado: Seja
uma família arbitrária de conjuntos. Então:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que o exercício pede é provar o Teorema de De Morgan generalizado, que diz:
Estamos na parte de teoria de conjuntos e precisamos usar as definições de:
- interseção de uma família de conjuntos,
- união de uma família de conjuntos,
- complemento de um conjunto.
Em resumo, vamos mostrar que todo elemento do lado esquerdo também está no direito e vice-versa.
Passo 2
Provar
- Pegue um elemento qualquer
e suponha
2. Por definição de complemento, isso significa
- E o que é não estar na interseção? Significa que existe pelo menos um índice
tal que
4. Mas aí, por definição de complemento de um único conjunto,
- Se
para algum , pela definição de união temos
Logo, todo
do lado esquerdo está no lado direito.
Passo 3
Provar
- Pegue agora
. - Pela definição de união, existe algum
tal que
3. Se, então não pertence à interseção de TODOS os , porque para estar na interseção precisaria estar em cada um deles, inclusive em .
4. Logo
o que quer dizer
Pronto, mostramos a inclusão no outro sentido.
Resposta
Juntando os dois passos de inclusão, concluímos que