Prove o Teorema de De Morgan generalizado: Seja Agamma mid gamma in Gamma uma família arbitrária de conjuntos. Então:
(capgamma in Gamma Agamma)^c=cupgamma in Gamma Agamma^c

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que o exercício pede é provar o Teorema de De Morgan generalizado, que diz:
l(capgammainGammaAgammar)^c ;=;cupgammainGammaAgamma^c,
Estamos na parte de teoria de conjuntos e precisamos usar as definições de:
- interseção de uma família de conjuntos,
- união de uma família de conjuntos,
- complemento de um conjunto.
Em resumo, vamos mostrar que todo elemento do lado esquerdo também está no direito e vice-versa.

Passo 2

Provar l(capgammainGammaAgammar)^csubseteqcupgammainGammaAgamma^c
  1. Pegue um elemento qualquer xinl(capgammainGammaAgammar)^c e suponha xnotin capgammainGammaAgamma
    2. Por definição de complemento, isso significa
    xnotin Agamma0
  2. E o que é não estar na interseção? Significa que existe pelo menos um índice xin Agamma0^c tal que xincupgammainGammaAgamma^c
    4. Mas aí, por definição de complemento de um único conjunto,
  3. Se para algum , pela definição de união temos
Logo, todo do lado esquerdo está no lado direito.

Passo 3

Provar cupgammainGammaAgamma^csubseteql(capgammainGammaAgammar)^c
  1. Pegue agora xin Agamma1^cLongrightarrow xnotin Agamma1.
  2. Pela definição de união, existe algum xnotincapgammainGammaAgamma, tal que xinl(capgammainGammaAgammar)^c
    3. Se , então não pertence à interseção de TODOS os , porque para estar na interseção precisaria estar em cada um deles, inclusive em .
    4. Logo
    o que quer dizer
Pronto, mostramos a inclusão no outro sentido.

Resposta

Juntando os dois passos de inclusão, concluímos que
l(capgammainGammaAgammar)^c=cupgammainGammaAgamma^c,

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