Quais desses conjuntos são iguais: \{r, t, s\},\{s, t, r, s\},\{t, s, t, r\},\{s, r, s, t\} ?

Passo 1

O enunciado fornece quatro conjuntos e pede para identificar quais deles são iguais. Os conjuntos dados são:
\{r, t, s\}, \{s, t, r, s\}, \{t, s, t, r\}, \{s, r, s, t\}.
Ou seja, a pergunta é: quais desses conjuntos coincidem entre si (são exatamente os mesmos conjuntos)?

Passo 2

Vou lembrar uma definição essencial, bem direta e útil para prova: dois conjuntos A e B são iguais quando cada elemento de A pertence a B e cada elemento de B pertence a A. Em notação:
A = B \quad\text{se e somente se}\quad A \subseteq B \text{ e } B \subseteq A.
Dois pontos práticos que sempre salvam na hora da prova:
  • A ordem dos elementos não importa em um conjunto. Por exemplo \{a,b\}=\{b,a\}.
  • Repetições são ignoradas: \{a,a,b\}=\{a,b\}.

Passo 3

Agora vou examinar cada conjunto e listar os elementos distintos (ou seja, sem repetições) — isso facilita ver igualdade.
Para \{r, t, s\} os elementos distintos já são \{r,t,s\}. É comum ordenar mentalmente para comparar; ordenando alfabeticamente dá \{r,s,t\}.

Passo 4

Para \{s, t, r, s\} há uma repetição de s. Retirando duplicatas os elementos distintos são \{s,t,r\}. Ordenando alfabeticamente fica \{r,s,t\}.

Passo 5

Para \{t, s, t, r\} há uma repetição de t. Os elementos distintos são \{t,s,r\}. Ordenando alfabeticamente fica \{r,s,t\}.

Passo 6

Para \{s, r, s, t\} há repetição de s. Os elementos distintos são \{s,r,t\}. Ordenando alfabeticamente fica \{r,s,t\}.

Passo 7

Como todos os quatro conjuntos, quando reduzidos aos elementos distintos e ordenados, resultam no mesmo conjunto \{r,s,t\}, pelo critério de igualdade de conjuntos (cada um tem exatamente os mesmos elementos) concluímos que todos são iguais entre si.
Dica rápida para a prova: sempre escreva os elementos sem repetições e, se quiser comparar, ponha numa ordem padrão (alfabética) — isso revela igualdades instantaneamente.

Resposta

Todas são iguais: \{r,s,t\}

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