(4,0) Com o seguinte quadro de distribuição conjunta de duas variáveis aleatórias discretas Xe Y :
|l|l|l|l|l| hline$X$ & 2 & 3 & 4 & $P(y)$ $Y$ & & & & hline 1 & $1 / 25$ & $4 / 25$ & $2 / 25$ & $7 / 25$ hline 2 & $2 / 25$ & $5 / 25$ & $1 / 25$ & $8 / 25$ hline 3 & $4 / 25$ & $1 / 25$ & $5 / 25$ & $10 / 25$ hline$P(x)$ & $7 / 25$ & $10 / 25$ & $8 / 25$ & 1 hline 2 3 4 x
y
1
2
3
1
d) Determine o coeficiente de correlação entre e .

Passo 1

Opa! Vamos lá. A questão dá a tabela de distribuição conjunta de duas variáveis discretas X e Y e pede o coeficiente de correlação entre elas.
Conteúdo: usamos esperança (E[·]), variância (Var), covariância (Cov) e, por fim, o coeficiente de correlação
O que precisamos fazer:
  1. calcular E[X] e E[Y],
  2. calcular E[XY],
  3. achar Cov(X,Y),
  4. calcular Var(X) e Var(Y),
  5. montar ρ.

Passo 2

Calcular E[X] e E[Y] usando as marginais.
A marginal de X é
P(X=2)=tfrac725,; P(X=3)=tfrac1025,; P(X=4)=tfrac825,
então
E[X] = 2cdottfrac725 + 3cdottfrac1025 + 4cdottfrac825 = tfrac14 + 30 + 3225 = tfrac7625 = 3,04
A marginal de Y é
P(Y=1)=tfrac725,; P(Y=2)=tfrac825,; P(Y=3)=tfrac1025,
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E[Y] = 1cdottfrac725 + 2cdottfrac825 + 3cdottfrac1025 = tfrac7 + 16 + 3025 = tfrac5325 = 2,12

Passo 3

Calcular E[XY] = sumx,y x,y,P(X=x,Y=y) direto da tabela, pois
E[XY] = 22 + 46 + 9325 = 16125 = 6,44
Fazendo cada célula:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
    Somando tudo:

Passo 4

Agora a covariância:

Passo 5

Vamos às variâncias usando e idem para Y.
Primeiro E[X^2] = 2^2cdottfrac725 + 3^2cdottfrac1025 + 4^2cdottfrac825 = tfrac28 + 90 +12825 = tfrac24625 =9,84 :
Var(X) = 9,84 - (3,04)^2 = 9,84 - 9,2416 = 0,5984
Então
Agora E[Y^2] = 1^2cdottfrac725 + 2^2cdottfrac825 + 3^2cdottfrac1025 = tfrac7 + 32 + 9025 = tfrac12925 =5,16 :
Var(Y) = 5,16 - (2,12)^2 = 5,16 - 4,4944 = 0,6656
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Passo 6

Por fim, o coeficiente de correlação

Resposta

O coeficiente de correlação entre X e Y é aproximadamente
boxedrhoX,Y approx -0,0076

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