Com o seguinte quadro de distribuição conjunta de duas variáveis aleatórias discretas Xe Y :
2
3
4
1
2
3
1
d) Determine o coeficiente de correlação entre
e
.
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2 | 3 | 4 |
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1 |
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2 |
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3 |
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1 |
Passo 1
Opa! Vamos lá. A questão dá a tabela de distribuição conjunta de duas variáveis discretas X e Y e pede o coeficiente de correlação entre elas.
Conteúdo: usamos esperança (E[·]), variância (Var), covariância (Cov) e, por fim, o coeficiente de correlação
Conteúdo: usamos esperança (E[·]), variância (Var), covariância (Cov) e, por fim, o coeficiente de correlação
O que precisamos fazer:
- calcular E[X] e E[Y],
- calcular E[XY],
- achar Cov(X,Y),
- calcular Var(X) e Var(Y),
- montar ρ.
Passo 2
Calcular E[X] e E[Y] usando as marginais.
A marginal de X é
A marginal de X é
então
A marginal de Y é
logo
Passo 3
Calcular
direto da tabela, pois
Fazendo cada célula:
- Para
: - Para
: - Para
:
Somando tudo:
Passo 4
Agora a covariância:
Passo 5
Vamos às variâncias usando e idem para Y.
Primeiro :
Primeiro
Então
Agora
:
Logo
Passo 6
Por fim, o coeficiente de correlação
Resposta
O coeficiente de correlação entre X e Y é aproximadamente