, ache
(a)
no ponto
;
(b) o módulo do gradiente de
em (1, 2, 3); e
(c) os co-senos diretores de
em (
).
(a)
(b) o módulo do gradiente de
(c) os co-senos diretores de
Passo 1
O enunciado dá a função
. Pede-se:
(a) calcular no ponto
;
(b) calcular o módulo de em
;
(c) encontrar os co-senos diretores de em
.
As informações relevantes são a expressão de e o ponto
.
(a) calcular
(b) calcular o módulo de
(c) encontrar os co-senos diretores de
As informações relevantes são a expressão de
Passo 2
O que é
e como calculamos:
é o vetor gradiente de
. Em coordenadas cartesianas, o gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais em relação a cada variável, isto é,
Explicação das derivadas parciais:
significa derivar
considerando
e
constantes; análogo para as outras variáveis. A constante
tem derivada zero em relação a qualquer variável.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais uma a uma:
Derivada em relação a :
Derivada em relação a
Derivada em relação a
:
Derivada em relação a
:
Portanto, a expressão geral do gradiente é
Passo 4
Agora avaliamos
no ponto
substituindo
,
,
:
Interpretação rápida: esse vetor aponta na direção de máxima subida de
no ponto dado e seus componentes mostram as taxas de variação em cada eixo.
Passo 5
Definição e cálculo do módulo do gradiente: o módulo (norma euclidiana) de um vetor
é
Aplicando ao vetor
:
Simplificando
:
.
Passo 6
O que são os co-senos diretores: para um vetor
, os co-senos diretores são as razões entre cada componente e o módulo do vetor; eles são justamente os componentes do vetor unitário na direção de
. Ou seja,
No nosso caso
e
. Então
Verificação rápida:
, como deve ser.
Resposta
(a)
(b)
(c) co-senos diretores
(b)
(c) co-senos diretores