\operatorname{Se} \mathrm{S}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)-3 / 2, ache
(a) \nabla \mathrm{S} no ponto (1,2,3);
(b) o módulo do gradiente de \mathrm{S},|\nabla \mathrm{S}| em (1, 2, 3); e
(c) os co-senos diretores de \nabla \mathrm{S} em ( 1,2,3 ).

Passo 1

O enunciado dá a função \mathrm{S}(x,y,z)=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)-\tfrac{3}{2}. Pede-se:
(a) calcular \nabla \mathrm{S} no ponto (1,2,3);
(b) calcular o módulo de \nabla \mathrm{S} em (1,2,3);
(c) encontrar os co-senos diretores de \nabla \mathrm{S} em (1,2,3).
As informações relevantes são a expressão de \mathrm{S} e o ponto (1,2,3).

Passo 2

O que é \nabla \mathrm{S} e como calculamos: \nabla \mathrm{S} é o vetor gradiente de \mathrm{S}. Em coordenadas cartesianas, o gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais em relação a cada variável, isto é,
\nabla \mathrm{S}=\left(\frac{\partial \mathrm{S}}{\partial x},\;\frac{\partial \mathrm{S}}{\partial y},\;\frac{\partial \mathrm{S}}{\partial z}\right).
Explicação das derivadas parciais: \frac{\partial \mathrm{S}}{\partial x} significa derivar \mathrm{S} considerando y e z constantes; análogo para as outras variáveis. A constante -\tfrac{3}{2} tem derivada zero em relação a qualquer variável.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais uma a uma:
Derivada em relação a x:
\frac{\partial \mathrm{S}}{\partial x}=\frac{d}{dx}\left(x^{2}\right)=2x.
Derivada em relação a y:
\frac{\partial \mathrm{S}}{\partial y}=\frac{d}{dy}\left(y^{2}\right)=2y.
Derivada em relação a z:
\frac{\partial \mathrm{S}}{\partial z}=\frac{d}{dz}\left(z^{2}\right)=2z.
Portanto, a expressão geral do gradiente é
\nabla \mathrm{S}(x,y,z)=(2x,\;2y,\;2z).

Passo 4

Agora avaliamos \nabla \mathrm{S} no ponto (1,2,3) substituindo x=1, y=2, z=3:
\nabla \mathrm{S}(1,2,3)=(2\cdot 1,\;2\cdot 2,\;2\cdot 3)=(2,\;4,\;6).
Interpretação rápida: esse vetor aponta na direção de máxima subida de \mathrm{S} no ponto dado e seus componentes mostram as taxas de variação em cada eixo.

Passo 5

Definição e cálculo do módulo do gradiente: o módulo (norma euclidiana) de um vetor (a,b,c) é
\| (a,b,c)\|=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}.
Aplicando ao vetor \nabla \mathrm{S}(1,2,3)=(2,4,6):
|\nabla \mathrm{S}(1,2,3)|=\sqrt{2^{2}+4^{2}+6^{2}}=\sqrt{4+16+36}=\sqrt{56}.
Simplificando \sqrt{56}: \sqrt{56}=\sqrt{4\cdot 14}=2\sqrt{14}.

Passo 6

O que são os co-senos diretores: para um vetor \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z), os co-senos diretores são as razões entre cada componente e o módulo do vetor; eles são justamente os componentes do vetor unitário na direção de \mathbf{v}. Ou seja,
\alpha_x=\frac{v_x}{\|\mathbf{v}\|},\quad \alpha_y=\frac{v_y}{\|\mathbf{v}\|},\quad \alpha_z=\frac{v_z}{\|\mathbf{v}\|}.
No nosso caso \mathbf{v}=\nabla \mathrm{S}(1,2,3)=(2,4,6) e \|\mathbf{v}\|=2\sqrt{14}. Então
\alpha_x=\frac{2}{2\sqrt{14}}=\frac{1}{\sqrt{14}},\quad \alpha_y=\frac{4}{2\sqrt{14}}=\frac{2}{\sqrt{14}},\quad \alpha_z=\frac{6}{2\sqrt{14}}=\frac{3}{\sqrt{14}}.
Verificação rápida: \left(\tfrac{1}{\sqrt{14}}\right)^{2}+\left(\tfrac{2}{\sqrt{14}}\right)^{2}+\left(\tfrac{3}{\sqrt{14}}\right)^{2}=\tfrac{1+4+9}{14}=\tfrac{14}{14}=1, como deve ser.

Resposta

(a) \nabla \mathrm{S}(1,2,3)=(2,4,6)
(b) |\nabla \mathrm{S}(1,2,3)|=2\sqrt{14}
(c) co-senos diretores =\left(\tfrac{1}{\sqrt{14}},\;\tfrac{2}{\sqrt{14}},\;\tfrac{3}{\sqrt{14}}\right)

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