Prove que cada uma das transformações abaixo é linear:
T: R^2 P2(R) dada por T(a, b)=a x^2+b x+(a+b).

Passo 1

O enunciado define
Tcolon R^2 to P2(R) por
T(a,b) = a x^2 + b x + (a + b)
O que queremos mostrar é que T é uma transformação linear, ou seja, que para todos (a,b),(c,d)inR^2 e todo escalar lambdainR valem
  1. Tl((a,b)+(c,d)r)=T(a,b)+T(c,d),
  2. Tl(lambda,(a,b)r)=lambda,T(a,b).

Passo 2

Verificação da aditividade. Seja (a,b),(c,d)inR^2. Então
(a,b)+(c,d) = (,a+c,;b+d,),
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Tl((a,b)+(c,d)r) = T(a+c,;b+d) = (a+c)x^2 + (b+d)x + l((a+c)+(b+d)r)
Reagrupando termos,
(a+c)x^2 + (b+d)x + (a+b+c+d) = l(a x^2 + b x + (a+b)r) + l(c x^2 + d x + (c+d)r),
e isso é exatamente
T(a,b) + T(c,d)
Portanto T(u+v)=T(u)+T(v).

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Seja lambdainR e (a,b)inR^2. Então
lambda,(a,b) = (lambda a,;lambda b),
portanto
Tl(lambda,(a,b)r) = T(lambda a,;lambda b) = (lambda a)x^2 + (lambda b)x + l(lambda a + lambda br)
Fatorando lambda, obtemos
lambdal(a x^2 + b x + (a+b)r) = lambda,T(a,b)
Logo T(lambda v)=lambda,T(v).

Resposta

Como T satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que T é linear.

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