Prove que cada uma das transformações abaixo é linear:
dada por
.
Passo 1
O enunciado define
por
O que queremos mostrar é que
é uma transformação linear, ou seja, que para todos
e todo escalar
valem
-
, -
.
Passo 2
Verificação da aditividade. Seja
. Então
logo
Reagrupando termos,
e isso é exatamente
Portanto
.
Passo 3
Verificação da homogeneidade. Seja
e
. Então
portanto
Fatorando
, obtemos
Logo
.
Resposta
Como
satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que
é linear.