Sem a hipótese de que dim U seja finita, prove o seguinte resultado: Sejam U e V espacos vetoriais sobre K. Se uii in I for uma base de U e se vii in I subset V, então existe uma única transformação linear T: U V tal que T(ui)=vi para cada i in I. I é um subconjunto infinito de N.

Passo 1

O enunciado diz que U e V são espaços vetoriais sobre K, que uiiin I é uma base de U (com I possivelmente infinito) e que temos vetores viiin Isubset V. Queremos mostrar que existe exatamente uma aplicação linear
T:Uto V
tal que, para todo iin I,
T(ui)=vi
O que vamos usar é a propriedade fundamental de base: todo vetor em U pode ser escrito de modo único como combinação linear finita dos ui. A partir disso definimos T e provamos que está bem-definida, que é linear e que não há outra.

Passo 2

(Definição de T em todo U.) Seja uin U. Como ui é base, existem escalares aiiin FsubsetK em um conjunto finito Fsubset I tais que
u=sumiin Fai,ui
Definimos
T(u)=sumiin Fai,vi
Interpretação: estendemos a regra uimapsto vi por linearidade a qualquer combinação finita.

Passo 3

(Verificação de que T está bem-definida.) Suponha que também
u=sumjin Gbj,uj
com Gsubset I finito. Então
0=u-u=sumiin Fai,ui-sumjin Gbj,uj =sumkin Fcup G(ak-bk),uk,
onde tomamos ak=0 se knotin F e bk=0 se knotin G. Como uk é linearmente independente, segue ak-bk=0 para todo k, ou seja, ak=bk. Logo
sumiin Fai,vi =sumkin Fcup Gak,vk =sumkin Fcup Gbk,vk =sumjin Gbj,vj,
o que mostra que T(u) não depende da escolha da representação.

Passo 4

(Propriedade de linearidade.) Dados u,u'in U e lambdainK, escreva
u=sumiin Fai,ui, u'=sumiin F'a'i,ui
Então
u+u'=sumiin Fcup F'(ai+a'i),ui,
logo
T(u+u') =sumiin Fcup F'(ai+a'i),vi =sumiin Fai,vi+sumiin F'a'i,vi =T(u)+T(u')
E
T(lambda u) =Tl(sumiin F(lambda ai),uir) =sumiin F(lambda ai),vi =lambdasumiin Fai,vi =lambda,T(u)

Passo 5

(Unicidade de T.) Suponha que exista outra transformação linear S:Uto V com S(ui)=vi para todo i. Para qualquer u=sumiin Fai,ui teríamos
S(u)=Sl(sumiin Fai,uir) =sumiin Fai,S(ui) =sumiin Fai,vi =T(u)
Logo S=T em todo U.

Resposta

Existe uma e somente uma transformação linear T:Uto V tal que, para cada iin I, T(ui)=vi.

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