Sem a hipótese de que
seja finita, prove o seguinte resultado: Sejam
e
espacos vetoriais sobre
. Se
for uma base de
e se
, então existe uma única transformação linear
tal que
para cada
. I é um subconjunto infinito de
.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são espaços vetoriais sobre
, que
é uma base de
(com
possivelmente infinito) e que temos vetores
. Queremos mostrar que existe exatamente uma aplicação linear
tal que, para todo
,
O que vamos usar é a propriedade fundamental de base: todo vetor em
pode ser escrito de modo único como combinação linear finita dos
. A partir disso definimos
e provamos que está bem-definida, que é linear e que não há outra.
Passo 2
(Definição de
em todo
.) Seja
. Como
é base, existem escalares
em um conjunto finito
tais que
Definimos
Interpretação: estendemos a regra
por linearidade a qualquer combinação finita.
Passo 3
(Verificação de que
está bem-definida.) Suponha que também
com
finito. Então
onde tomamos
se
e
se
. Como
é linearmente independente, segue
para todo
, ou seja,
. Logo
o que mostra que
não depende da escolha da representação.
Passo 4
(Propriedade de linearidade.) Dados
e
, escreva
Então
logo
E
Passo 5
(Unicidade de
.) Suponha que exista outra transformação linear
com
para todo
. Para qualquer
teríamos
Logo
em todo
.
Resposta
Existe uma e somente uma transformação linear
tal que, para cada
,
.