prove que o campo de forças dado é conservativo e ache uma função potencial.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que ele pede.
- O campo de forças dado é
. - O enunciado pede duas coisas:
- Mostrar que esse campo é conservativo.
- Achar uma função potencial (isto é, uma função
tal que ).
Passo 2
Explicação do critério que vamos usar (passo-a-passo, sem pular etapas).
- Definição prática: em duas variáveis, um campo vetorial
é conservativo em um domínio simplesmente conexo se existir uma função com e . - Critério prático (teste do rotacional em 2D): se
e têm derivadas parciais contínuas em um domínio simplesmente conexo, então um necessário e suficiente é Aqui significa “derivar em relação a , tratando como constante”, e analogamente para . - Plano de ação: calcular
e . Se derem iguais e o domínio for simplesmente conexo (aqui é todo ), então o campo é conservativo.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais pedidas (vou nomear
e
explicitamente).
-
Aqui
.
Calcular: derivando termo a termo em relação a , - Para
: é tratado como constante, então fica . - Para
: é .
Portanto
- Para
-
Aqui
.
Calcular: derivando termo a termo em relação a , - Para
: é constante, fica . - Para
: é constante, fica . - Para
: é .
Portanto
- Para
Passo 4
Concluir sobre o teste do rotacional.
- Observamos que
- O campo
tem componentes polinomiais, logo as derivadas parciais são contínuas em todo . - O domínio natural do campo é todo
, que é simplesmente conexo (isso significa que qualquer laço contínuo pode ser continuamente contrído a um ponto sem sair do domínio). - Portanto, pelo critério,
é conservativo em .
Passo 5
Estratégia para encontrar a função potencial
.
- Sabendo que
, podemos integrar essa igualdade em relação a (tratando como constante) para obter até uma função “constante” de . - Depois ajustamos essa função de
impondo .
Passo 6
Integrar
em relação a
e introduzir a função de
.
- Integrando
em : - Para
: é constante, então - Para
: é constante, então
- Para
- Ao integrar, aparece uma “constante” de integração que pode depender de
; chame-a de .
Assim
Passo 7
Determinar
impondo a segunda condição
.
- Calcular
a partir do candidato: -
-
Então
-
- Igualar isso a
: Cancelam-se os termos com , sobrando - Integrando em
: onde é constante real.
Passo 8
Escrever a função potencial final e verificar rapidamente (checar é sempre bom).
- Substituindo
no candidato, - Podemos checar: calcular
e . Está correto.
Resposta
O campo é conservativo em
.