prove que o campo de forças dado é conservativo e ache uma função potencial.
\mathbf{F}(x, y)=\left(2 x y^{2}-y^{3}\right) \mathbf{i}+\left(2 x^{2} y-3 x y^{2}+2\right) \mathbf{j}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que ele pede.
  • O campo de forças dado é \mathbf{F}(x,y) = \bigl(2xy^{2}-y^{3}\bigr)\mathbf{i} + \bigl(2x^{2}y-3xy^{2}+2\bigr)\mathbf{j}.
  • O enunciado pede duas coisas:
    1. Mostrar que esse campo é conservativo.
    2. Achar uma função potencial (isto é, uma função \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi = \mathbf{F}).

Passo 2

Explicação do critério que vamos usar (passo-a-passo, sem pular etapas).
  • Definição prática: em duas variáveis, um campo vetorial \mathbf{F}(x,y) = P(x,y)\mathbf{i} + Q(x,y)\mathbf{j} é conservativo em um domínio simplesmente conexo se existir uma função \varphi(x,y) com \frac{\partial\varphi}{\partial x}=P e \frac{\partial\varphi}{\partial y}=Q.
  • Critério prático (teste do rotacional em 2D): se P e Q têm derivadas parciais contínuas em um domínio simplesmente conexo, então um necessário e suficiente é \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}.Aqui \frac{\partial P}{\partial y} significa “derivar P(x,y) em relação a y, tratando x como constante”, e analogamente para \frac{\partial Q}{\partial x}.
  • Plano de ação: calcular \frac{\partial P}{\partial y} e \frac{\partial Q}{\partial x}. Se derem iguais e o domínio for simplesmente conexo (aqui é todo \mathbb{R}^2), então o campo é conservativo.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais pedidas (vou nomear P e Q explicitamente).
  • Aqui P(x,y) = 2xy^{2}-y^{3}.
    Calcular \frac{\partial P}{\partial y}: derivando termo a termo em relação a y,
    \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(2xy^{2}\bigr) - \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{3}\bigr).
    • Para \frac{\partial}{\partial y}\bigl(2xy^{2}\bigr): x é tratado como constante, então fica 2x \cdot 2y = 4xy.
    • Para \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{3}\bigr): é 3y^{2}.
      Portanto
    \frac{\partial P}{\partial y} = 4xy - 3y^{2}.
  • Aqui Q(x,y) = 2x^{2}y - 3xy^{2} + 2.
    Calcular \frac{\partial Q}{\partial x}: derivando termo a termo em relação a x,
    \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x^{2}y\bigr) - \frac{\partial}{\partial x}\bigl(3xy^{2}\bigr) + \frac{\partial}{\partial x}(2).
    • Para \frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x^{2}y\bigr): y é constante, fica 4xy.
    • Para \frac{\partial}{\partial x}\bigl(3xy^{2}\bigr): y^{2} é constante, fica 3y^{2}.
    • Para \frac{\partial}{\partial x}(2): é 0.
      Portanto
    \frac{\partial Q}{\partial x} = 4xy - 3y^{2}.

Passo 4

Concluir sobre o teste do rotacional.
  • Observamos que \frac{\partial P}{\partial y} = 4xy - 3y^{2} = \frac{\partial Q}{\partial x}.
  • O campo \mathbf{F} tem componentes polinomiais, logo as derivadas parciais são contínuas em todo \mathbb{R}^2.
  • O domínio natural do campo é todo \mathbb{R}^2, que é simplesmente conexo (isso significa que qualquer laço contínuo pode ser continuamente contrído a um ponto sem sair do domínio).
  • Portanto, pelo critério, \mathbf{F} é conservativo em \mathbb{R}^2.

Passo 5

Estratégia para encontrar a função potencial \varphi(x,y).
  • Sabendo que \frac{\partial\varphi}{\partial x} = P(x,y) = 2xy^{2}-y^{3}, podemos integrar essa igualdade em relação a x (tratando y como constante) para obter \varphi até uma função “constante” de y.
  • Depois ajustamos essa função de y impondo \frac{\partial\varphi}{\partial y} = Q(x,y).

Passo 6

Integrar P em relação a x e introduzir a função de y.
  • Integrando P em x: \varphi(x,y) = \int \bigl(2xy^{2}-y^{3}\bigr)\,dx.
    • Para \int 2xy^{2}\,dx: y^{2} é constante, então \int 2x y^{2}\,dx = y^{2}\int 2x\,dx = y^{2} \cdot x^{2} = x^{2}y^{2}.
    • Para \int -y^{3}\,dx: y^{3} é constante, então \int -y^{3}\,dx = -x y^{3}.
  • Ao integrar, aparece uma “constante” de integração que pode depender de y; chame-a de g(y).
    Assim \varphi(x,y) = x^{2}y^{2} - x y^{3} + g(y).

Passo 7

Determinar g(y) impondo a segunda condição \frac{\partial\varphi}{\partial y} = Q.
  • Calcular \frac{\partial\varphi}{\partial y} a partir do candidato: \frac{\partial\varphi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y^{2}\bigr) - \frac{\partial}{\partial y}\bigl(xy^{3}\bigr) + g'(y).
    • \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y^{2}\bigr) = x^{2}\cdot 2y = 2x^{2}y.
    • \frac{\partial}{\partial y}\bigl(xy^{3}\bigr) = x\cdot 3y^{2} = 3xy^{2}.
      Então
    \frac{\partial\varphi}{\partial y} = 2x^{2}y - 3xy^{2} + g'(y).
  • Igualar isso a Q(x,y) = 2x^{2}y - 3xy^{2} + 2: 2x^{2}y - 3xy^{2} + g'(y) = 2x^{2}y - 3xy^{2} + 2.Cancelam-se os termos com x, sobrando g'(y) = 2.
  • Integrando em y: g(y) = 2y + C,onde C é constante real.

Passo 8

Escrever a função potencial final e verificar rapidamente (checar é sempre bom).
  • Substituindo g(y) no candidato, \varphi(x,y) = x^{2}y^{2} - x y^{3} + 2y + C.
  • Podemos checar: calcular \frac{\partial\varphi}{\partial x} = 2xy^{2} - y^{3} = P e \frac{\partial\varphi}{\partial y} = 2x^{2}y - 3xy^{2} + 2 = Q. Está correto.

Resposta

O campo é conservativo em \mathbb{R}^{2}.
\displaystyle \varphi(x,y)=x^{2}y^{2}-x y^{3}+2y+C

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