)Durante um experimento de microfoguete, sua aceleração
varia com o tempo
[min] segundo a função
O microfoguete se romperá se a velocidade ultrapassar
. Usando
subintervalos, aproxime a integral
utilizando a Regra do Trapézio e a Regra de Simpson e indique se o foguete passará no teste. Considere que o foguete falhará se qualquer um dos dois métodos indicar velocidade final acima do limite, e será considerado aprovado apenas se ambos os métodos indicarem velocidade final abaixo do limite.
Passo 1
O enunciado nos dá:
- A aceleração do microfoguete é
em com em minutos e em . - Queremos aproximar a velocidade final
usando
subintervalos pela Regra do Trapézio e pela Regra de Simpson.
- O passo de decisão é: o foguete se romperá se a velocidade ultrapassar
. Considere que o foguete falhará se qualquer um dos dois métodos indicar velocidade final acima desse limite; só será aprovado se ambos indicarem abaixo do limite.
Passo 2
Dividindo o intervalo
em
subintervalos iguais:
- O tamanho do passo é
- Os nós são
. - Calculamos
. Valores (aproximações numéricas):
Vou usar essas aproximações decimais para computar as regras numéricas. (Esses números vêm diretamente de avaliar
nos nós listados.)]
Passo 3
Regra do Trapézio: a fórmula para
subintervalos é
Aqui
e
, então
Substituindo os valores numéricos:
Passo 4
Regra de Simpson (para
par): a fórmula é
Com
e
,
Substituindo:
Passo 5
Comparação com o limite
:
- Regra do Trapézio:
. Isso indica velocidade acima do limite. - Regra de Simpson:
. Isso indica velocidade abaixo do limite.
Pelo critério do enunciado, o foguete falhará se qualquer dos dois métodos indicar velocidade final acima do limite. Como a Regra do Trapézio indica valor acima do limite, conclui-se que o foguete é considerado reprovado (falhará), mesmo que Simpson dê valor abaixo.
Passo 6
Comentário prático e motivador: a diferença entre as duas estimativas vem porque a integral de
é uma função suave que decai muito rápido para
grandes, e com apenas quatro subintervalos a Regra do Trapézio pode superestimar a área onde a função já é muito pequena. A Regra de Simpson costuma ser mais precisa para funções suaves, mas o critério do problema exige que ambos concordem (abaixo do limite) para aprovar — então a decisão conservadora é considerar falha. Força aí — é normal obter aproximações diferentes; em prova é bom explicar esse comportamento e justificar a decisão usando o critério dado.
Resposta
O foguete falhará (a Regra do Trapézio indica velocidade final acima de