7^{\circ} )Durante um experimento de microfoguete, sua aceleração a(t)\left[\mathrm{km} / \mathrm{min}^{2}\right] varia com o tempo t [min] segundo a função
a(t)=e^{-t^{2}}, \quad 0 \leq t \leq 4 .
O microfoguete se romperá se a velocidade ultrapassar 0,8500 \mathrm{~km} / \mathrm{min}. Usando n=4 subintervalos, aproxime a integral
v(4)=\int_{0}^{4} a(t) d t
utilizando a Regra do Trapézio e a Regra de Simpson e indique se o foguete passará no teste. Considere que o foguete falhará se qualquer um dos dois métodos indicar velocidade final acima do limite, e será considerado aprovado apenas se ambos os métodos indicarem velocidade final abaixo do limite.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • A aceleração do microfoguete é \displaystyle a(t)=e^{-t^{2}} em [0,4] com t em minutos e a em \mathrm{km/min^{2}}.
  • Queremos aproximar a velocidade final
v(4)=\int_{0}^{4} a(t)\,dt
usando n=4 subintervalos pela Regra do Trapézio e pela Regra de Simpson.
  • O passo de decisão é: o foguete se romperá se a velocidade ultrapassar 0,8500\\ \mathrm{km/min}. Considere que o foguete falhará se qualquer um dos dois métodos indicar velocidade final acima desse limite; só será aprovado se ambos indicarem abaixo do limite.

Passo 2

Dividindo o intervalo [0,4] em n=4 subintervalos iguais:
  • O tamanho do passo é
h=\frac{4-0}{4}=1.
  • Os nós são t_0=0,\\ t_1=1,\\ t_2=2,\\ t_3=3,\\ t_4=4.
  • Calculamos f_i=a(t_i)=e^{-t_i^2}. Valores (aproximações numéricas):
\begin{aligned} f_0&=e^{0}=1,\\[4pt] f_1&=e^{-1}\approx0,3678794412,\\[4pt] f_2&=e^{-4}\approx0,0183156389,\\[4pt] f_3&=e^{-9}\approx0,0001234098,\\[4pt] f_4&=e^{-16}\approx0,0000001125. \end{aligned}
Vou usar essas aproximações decimais para computar as regras numéricas. (Esses números vêm diretamente de avaliar e^{-t^{2}} nos nós listados.)]

Passo 3

Regra do Trapézio: a fórmula para n subintervalos é
T_n=\frac{h}{2}\Big(f_0 + 2\sum_{i=1}^{n-1} f_i + f_n\Big).
Aqui h=1 e n=4, então
T_4=\frac{1}{2}\big(f_0 + 2(f_1+f_2+f_3) + f_4\big).
Substituindo os valores numéricos:
\begin{aligned} T_4 &= \frac{1}{2}\Big(1 + 2(0,3678794412 + 0,0183156389 + 0,0001234098) + 0,0000001125\Big)\\[6pt] &= \frac{1}{2}\Big(1 + 2(0,3863184899) + 0,0000001125\Big)\\[6pt] &= \frac{1}{2}\big(1 + 0,7726369798 + 0,0000001125\big)\\[6pt] &= \frac{1}{2}(1,7726370923)\\[6pt] &\approx 0,8863185462\\ \mathrm{km/min}. \end{aligned}]

Passo 4

Regra de Simpson (para n par): a fórmula é
S_n=\frac{h}{3}\Big(f_0 + 4\sum_{\text{ímpar } i} f_i + 2\sum_{\text{par } i\neq0,n} f_i + f_n\Big).í
Com h=1 e n=4,
S_4=\frac{1}{3}\big(f_0 + 4(f_1+f_3) + 2(f_2) + f_4\big).
Substituindo:
\begin{aligned} S_4 &= \frac{1}{3}\Big(1 + 4(0,3678794412 + 0,0001234098) + 2(0,0183156389) + 0,0000001125\Big)\\[6pt] &= \frac{1}{3}\Big(1 + 4(0,3680028510) + 0,0366312778 + 0,0000001125\Big)\\[6pt] &= \frac{1}{3}\big(1 + 1,4720114040 + 0,0366312778 + 0,0000001125\big)\\[6pt] &= \frac{1}{3}(2,5086427943)\\[6pt] &\approx 0,8362142648\\ \mathrm{km/min}. \end{aligned}]

Passo 5

Comparação com o limite 0,8500\\ \mathrm{km/min}:
  • Regra do Trapézio: T_4\approx0,8863185462 > 0,8500. Isso indica velocidade acima do limite.
  • Regra de Simpson: S_4\approx0,8362142648 < 0,8500. Isso indica velocidade abaixo do limite.
    Pelo critério do enunciado, o foguete falhará se qualquer dos dois métodos indicar velocidade final acima do limite. Como a Regra do Trapézio indica valor acima do limite, conclui-se que o foguete é considerado reprovado (falhará), mesmo que Simpson dê valor abaixo.

Passo 6

Comentário prático e motivador: a diferença entre as duas estimativas vem porque a integral de e^{-t^{2}} é uma função suave que decai muito rápido para t grandes, e com apenas quatro subintervalos a Regra do Trapézio pode superestimar a área onde a função já é muito pequena. A Regra de Simpson costuma ser mais precisa para funções suaves, mas o critério do problema exige que ambos concordem (abaixo do limite) para aprovar — então a decisão conservadora é considerar falha. Força aí — é normal obter aproximações diferentes; em prova é bom explicar esse comportamento e justificar a decisão usando o critério dado.

Resposta

T_4\approx0,8863185462\\ \mathrm{km/min}
S_4\approx0,8362142648\\ \mathrm{km/min}
O foguete falhará (a Regra do Trapézio indica velocidade final acima de 0,8500\\ \mathrm{km/min}).

Exercícios relacionados