prove que o campo de forças dado é conservativo e ache uma função potencial.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: provar que o campo de forças dado é conservativo e encontrar uma função potencial associada. O campo é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Componentes escalares do campo, que chamaremos de
: - O campo está definido para todos os pontos de
(não há singularidades explícitas no enunciado).
Passo 2
Conceito e critério que vou usar (explicação curta e didática):
- Um campo vetorial
é conservativo em um domínio simplesmente conexo se e somente se o rotacional (curl) de for o vetor nulo: - O rotacional em coordenadas cartesianas é dado por
Explicando cada termo: por exemplo
significa “derivar
em relação a
, tratando
e
como constantes”.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais necessárias para o rotacional:
- Calcular
e : Logo a primeira componente do rotacional é
Passo 4
Continuar com as outras componentes do rotacional:
- Calcular
e :
Logo a segunda componente do rotacional é
Passo 5
Terceira componente do rotacional:
- Calcular
e : Portanto
Passo 6
Conclusão sobre o rotacional:
- Juntando as três componentes, obtém-se
- Como o campo está definido em todo
, que é um domínio simplesmente conexo, o fato de implica que é conservativo. (Intuição rápida: em domínio sem “buracos”, rotacional zero significa que a integral de linha entre dois pontos independe do caminho.)
Passo 7
Método para encontrar a função potencial
:
- Procuramos
tal que , isto é - Estratégia prática (muito usada em provas): integrar
em relação a , obtendo com uma função “constante” de integração que depende de ; depois usar as outras duas igualdades para determinar essa função.
Passo 8
Integrar
em
:
onde
é uma função arbitrária de
e
(porque ao derivar em
ela some).
Passo 9
Determinar
usando a condição
:
- Calcular
a partir da expressão encontrada: - Igualar a
: - Integrando em
:
onde
é uma função arbitrária de
.
Passo 10
Determinar
usando
:
- Montar
com conhecido parcialmente: - Calcular
: - Igualar a
: - Integrando em
:
onde
é constante arbitrária.
Passo 11
Escrever a função potencial final:
- Substituindo
em , obtemos
que satisfaz
. A constante
pode ser escolhida arbitrariamente (em provas normalmente toma-se
).
Resposta
O campo é conservativo.
Uma função potencial é , com
constante.
Uma função potencial é