prove que o campo de forças dado é conservativo e ache uma função potencial.
\mathbf{F}(x, y, z)=\left(2 y^{3}-8 x z^{2}\right) \mathbf{i}+\left(6 x y^{2}+1\right) \mathbf{j}-\left(8 x^{2} z+3 z^{2}\right) \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: provar que o campo de forças dado é conservativo e encontrar uma função potencial associada. O campo é
\mathbf{F}(x,y,z)=\bigl(2y^{3}-8xz^{2}\bigr)\mathbf{i}+\bigl(6xy^{2}+1\bigr)\mathbf{j}-\bigl(8x^{2}z+3z^{2}\bigr)\mathbf{k}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Componentes escalares do campo, que chamaremos de P,Q,R: P(x,y,z)=2y^{3}-8xz^{2}, \qquad Q(x,y,z)=6xy^{2}+1, \qquad R(x,y,z)=-8x^{2}z-3z^{2}.
  • O campo está definido para todos os pontos de \mathbb{R}^{3} (não há singularidades explícitas no enunciado).

Passo 2

Conceito e critério que vou usar (explicação curta e didática):
  • Um campo vetorial \mathbf{F}=(P,Q,R) é conservativo em um domínio simplesmente conexo se e somente se o rotacional (curl) de \mathbf{F} for o vetor nulo: \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}.
  • O rotacional em coordenadas cartesianas é dado por \nabla\times\mathbf{F}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\\ \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\\ \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right).
Explicando cada termo: por exemplo \dfrac{\partial R}{\partial y} significa “derivar R(x,y,z) em relação a y, tratando x e z como constantes”.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais necessárias para o rotacional:
  • Calcular \dfrac{\partial R}{\partial y} e \dfrac{\partial Q}{\partial z}: \frac{\partial R}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-8x^{2}z-3z^{2}\bigr)=0, \qquad \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(6xy^{2}+1\bigr)=0.Logo a primeira componente do rotacional é \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}=0-0=0.

Passo 4

Continuar com as outras componentes do rotacional:
  • Calcular \dfrac{\partial P}{\partial z} e \dfrac{\partial R}{\partial x}: \frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(2y^{3}-8xz^{2}\bigr)=-16xz,
\frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-8x^{2}z-3z^{2}\bigr)=-16xz.
Logo a segunda componente do rotacional é
\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}=-16xz-(-16xz)=0.

Passo 5

Terceira componente do rotacional:
  • Calcular \dfrac{\partial Q}{\partial x} e \dfrac{\partial P}{\partial y}: \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(6xy^{2}+1\bigr)=6y^{2}, \qquad \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2y^{3}-8xz^{2}\bigr)=6y^{2}.Portanto \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=6y^{2}-6y^{2}=0.

Passo 6

Conclusão sobre o rotacional:
  • Juntando as três componentes, obtém-se \nabla\times\mathbf{F}=(0,0,0).
  • Como o campo está definido em todo \mathbb{R}^{3}, que é um domínio simplesmente conexo, o fato de \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0} implica que \mathbf{F} é conservativo. (Intuição rápida: em domínio sem “buracos”, rotacional zero significa que a integral de linha entre dois pontos independe do caminho.)

Passo 7

Método para encontrar a função potencial \varphi:
  • Procuramos \varphi(x,y,z) tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}, isto é \frac{\partial \varphi}{\partial x}=P,\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=Q,\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial z}=R.
  • Estratégia prática (muito usada em provas): integrar \dfrac{\partial\varphi}{\partial x}=P em relação a x, obtendo \varphi com uma função “constante” de integração que depende de y,z; depois usar as outras duas igualdades para determinar essa função.

Passo 8

Integrar \dfrac{\partial\varphi}{\partial x}=P(x,y,z)=2y^{3}-8xz^{2} em x:
\varphi(x,y,z)=\int\bigl(2y^{3}-8xz^{2}\bigr)\,dx=2xy^{3}-4x^{2}z^{2}+g(y,z),
onde g(y,z) é uma função arbitrária de y e z (porque ao derivar em x ela some).

Passo 9

Determinar g(y,z) usando a condição \dfrac{\partial\varphi}{\partial y}=Q(x,y,z):
  • Calcular \dfrac{\partial\varphi}{\partial y} a partir da expressão encontrada: \frac{\partial\varphi}{\partial y}= \frac{\partial}{\partial y}\bigl(2xy^{3}-4x^{2}z^{2}+g(y,z)\bigr)=6xy^{2}+\frac{\partial g}{\partial y}(y,z).
  • Igualar a Q(x,y,z)=6xy^{2}+1: 6xy^{2}+\frac{\partial g}{\partial y}(y,z)=6xy^{2}+1 \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial g}{\partial y}(y,z)=1.
  • Integrando em y: g(y,z)=y+h(z),
onde h(z) é uma função arbitrária de z.

Passo 10

Determinar h(z) usando \dfrac{\partial\varphi}{\partial z}=R(x,y,z):
  • Montar \varphi com g conhecido parcialmente: \varphi(x,y,z)=2xy^{3}-4x^{2}z^{2}+y+h(z).
  • Calcular \dfrac{\partial\varphi}{\partial z}: \frac{\partial\varphi}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(2xy^{3}-4x^{2}z^{2}+y+h(z)\bigr)=-8x^{2}z+h'(z).
  • Igualar a R(x,y,z)=-8x^{2}z-3z^{2}: -8x^{2}z+h'(z)=-8x^{2}z-3z^{2}\quad\Rightarrow\quad h'(z)=-3z^{2}.
  • Integrando em z: h(z)=-z^{3}+C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 11

Escrever a função potencial final:
  • Substituindo h(z) em \varphi, obtemos \varphi(x,y,z)=2xy^{3}-4x^{2}z^{2}+y - z^{3} + C,
que satisfaz \nabla\varphi=\mathbf{F}. A constante C pode ser escolhida arbitrariamente (em provas normalmente toma-se C=0).

Resposta

O campo é conservativo.
Uma função potencial é \varphi(x,y,z)=2xy^{3}-4x^{2}z^{2}+y-z^{3}+C, com C constante.

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