prove que o campo de forças dado é conservativo e ache uma função potencial.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Provar que o campo de forças
é conservativo. - Achar uma função potencial para
.
As informações que o enunciado fornece (peguei direto do enunciado):
Vou chamar as componentes de
Passo 2
Explicação do critério que vou usar (não se assuste, é simples e útil na prova).
Um campo vetorial
definido em um domínio aberto e simplesmente conectado do plano é conservativo se e somente se as derivadas parciais mistas forem iguais:
Isto vem do fato de que, para um potencial
, teríamos
e
. Então derivando
em relação a
e
em relação a
obtém-se essa igualdade (as segundas derivadas mistas são iguais por teorema de Schwarz quando
é suficientemente regular).
Também é importante checar o domínio: funções como estão definidas para todo
, e
é simplesmente conectado, então o critério acima é aplicável.
Também é importante checar o domínio: funções como
Passo 3
Calcular as derivadas parciais necessárias (faço passo a passo porque é o que mais costuma cair em prova).
Primeiro calcule
. Lembrando que ao derivar em relação a
tratamos
como constante:
Derivando:
(Explicação:
e
;
e
são constantes em relação a
.)
Agora calcule
. Temos
Derivando em relação a
:
(Explicação:
e
;
e
são constantes em relação a
.)
Passo 4
Comparando os resultados do Passo 3:
Portanto
em todo
. Como o domínio (todo o plano) é simplesmente conectado, concluímos que
é conservativo. Boa notícia — significa que existe uma função potencial
tal que
.
Passo 5
Agora vamos encontrar explicitamente a função potencial
. Parte prática: resolver
e
.
Começo integrando
em relação a
:
Integrando em
:
Como
e
são constantes para essa integração,
As primitivas são
e
. Logo
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
Passo 6
Determinar
usando a condição
.
Calcule
:
Mas deve ser igual a
, que é
Comparando,
Assim obtemos
, logo
é constante:
(constante real).
Portanto podemos escolher a constante
(potenciais diferem por constantes são equivalentes).
Passo 7
Conclusão prática (função potencial final). Tomando
,
é uma função potencial de
. Se quiser, verifica-se que
e
conforme calculado antes, o que confirma que
.
Força aí — chegou até aqui e já tem a prova e a potencial na mão!
Resposta
É conservativo: sim.
Função potencial: , com
constante.
Função potencial: