prove que o campo de forças dado é conservativo e ache uma função potencial.
\mathbf{F}(x, y)=(\operatorname{sen} y \operatorname{senh} x+\cos y \operatorname{cosh} x) \mathbf{i}+(\cos y \operatorname{cosh} x-\operatorname{sen} y \operatorname{senh} x) \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Provar que o campo de forças \mathbf{F} é conservativo.
  • Achar uma função potencial para \mathbf{F}.
As informações que o enunciado fornece (peguei direto do enunciado):
\mathbf{F}(x,y)=\bigl(\sin y\,\operatorname{sinh} x+\cos y\,\operatorname{cosh} x\bigr)\,\mathbf{i} +\bigl(\cos y\,\operatorname{cosh} x-\sin y\,\operatorname{sinh} x\bigr)\,\mathbf{j}.
Vou chamar as componentes de
P(x,y)=\sin y\,\operatorname{sinh} x+\cos y\,\operatorname{cosh} x, \qquad Q(x,y)=\cos y\,\operatorname{cosh} x-\sin y\,\operatorname{sinh} x.

Passo 2

Explicação do critério que vou usar (não se assuste, é simples e útil na prova).
Um campo vetorial \mathbf{F}=P\,\mathbf{i}+Q\,\mathbf{j} definido em um domínio aberto e simplesmente conectado do plano é conservativo se e somente se as derivadas parciais mistas forem iguais:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
Isto vem do fato de que, para um potencial \varphi, teríamos \partial_x\varphi=P e \partial_y\varphi=Q. Então derivando \partial_x\varphi em relação a y e \partial_y\varphi em relação a x obtém-se essa igualdade (as segundas derivadas mistas são iguais por teorema de Schwarz quando \varphi é suficientemente regular).
Também é importante checar o domínio: funções como \sin,\operatorname{cosh},\operatorname{sinh} estão definidas para todo (x,y)\in\mathbb{R}^2, e \mathbb{R}^2 é simplesmente conectado, então o critério acima é aplicável.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais necessárias (faço passo a passo porque é o que mais costuma cair em prova).
Primeiro calcule \dfrac{\partial P}{\partial y}. Lembrando que ao derivar em relação a y tratamos x como constante:
P(x,y)=\sin y\,\operatorname{sinh} x+\cos y\,\operatorname{cosh} x.
Derivando:
\frac{\partial P}{\partial y}= \cos y\,\operatorname{sinh} x - \sin y\,\operatorname{cosh} x.
(Explicação: \dfrac{d}{dy}\sin y=\cos y e \dfrac{d}{dy}\cos y=-\sin y; \operatorname{sinh} x e \operatorname{cosh} x são constantes em relação a y.)
Agora calcule \dfrac{\partial Q}{\partial x}. Temos
Q(x,y)=\cos y\,\operatorname{cosh} x-\sin y\,\operatorname{sinh} x.
Derivando em relação a x:
\frac{\partial Q}{\partial x}= \cos y\,\operatorname{sinh} x - \sin y\,\operatorname{cosh} x.
(Explicação: \dfrac{d}{dx}\operatorname{cosh} x=\operatorname{sinh} x e \dfrac{d}{dx}\operatorname{sinh} x=\operatorname{cosh} x; \cos y e \sin y são constantes em relação a x.)

Passo 4

Comparando os resultados do Passo 3:
\frac{\partial P}{\partial y}=\cos y\,\operatorname{sinh} x - \sin y\,\operatorname{cosh} x \quad\text{e}\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=\cos y\,\operatorname{sinh} x - \sin y\,\operatorname{cosh} x.
Portanto
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}
em todo \mathbb{R}^2. Como o domínio (todo o plano) é simplesmente conectado, concluímos que \mathbf{F} é conservativo. Boa notícia — significa que existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}.

Passo 5

Agora vamos encontrar explicitamente a função potencial \varphi. Parte prática: resolver \partial_x\varphi=P e \partial_y\varphi=Q.
Começo integrando \partial_x\varphi=P em relação a x:
\frac{\partial\varphi}{\partial x}(x,y)=\sin y\,\operatorname{sinh} x+\cos y\,\operatorname{cosh} x.
Integrando em x:
\varphi(x,y)=\int\!\bigl(\sin y\,\operatorname{sinh} x+\cos y\,\operatorname{cosh} x\bigr)\,dx.
Como \sin y e \cos y são constantes para essa integração,
\varphi(x,y)=\sin y\int\operatorname{sinh} x\,dx+\cos y\int\operatorname{cosh} x\,dx + C(y).
As primitivas são \int\operatorname{sinh} x\,dx=\operatorname{cosh} x e \int\operatorname{cosh} x\,dx=\operatorname{sinh} x. Logo
\varphi(x,y)=\sin y\,\operatorname{cosh} x + \cos y\,\operatorname{sinh} x + C(y),
onde C(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.

Passo 6

Determinar C(y) usando a condição \partial_y\varphi=Q.
Calcule \partial_y\varphi:
\frac{\partial\varphi}{\partial y} = \cos y\,\operatorname{cosh} x - \sin y\,\operatorname{sinh} x + C'(y).
Mas deve ser igual a Q(x,y), que é
Q(x,y)=\cos y\,\operatorname{cosh} x - \sin y\,\operatorname{sinh} x.
Comparando,
\cos y\,\operatorname{cosh} x - \sin y\,\operatorname{sinh} x + C'(y) = \cos y\,\operatorname{cosh} x - \sin y\,\operatorname{sinh} x.
Assim obtemos C'(y)=0, logo C(y) é constante: C(y)=C (constante real).
Portanto podemos escolher a constante C=0 (potenciais diferem por constantes são equivalentes).

Passo 7

Conclusão prática (função potencial final). Tomando C=0,
\varphi(x,y)=\sin y\,\operatorname{cosh} x + \cos y\,\operatorname{sinh} x
é uma função potencial de \mathbf{F}. Se quiser, verifica-se que \partial_x\varphi=P e \partial_y\varphi=Q conforme calculado antes, o que confirma que \nabla\varphi=\mathbf{F}.
Força aí — chegou até aqui e já tem a prova e a potencial na mão!

Resposta

É conservativo: sim.
Função potencial: \displaystyle \varphi(x,y)=\sin y\,\operatorname{cosh} x+\cos y\,\operatorname{sinh} x + C, com C constante.

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