prove que o campo de forças dado é conservativo e ache uma função potencial.
Passo 1
O enunciado fornece o campo de forças
e pede duas coisas:
- provar que o campo é conservativo;
- encontrar uma função potencial para o campo (ou seja, uma função
tal que ).
As informações relevantes que temos:
- as componentes escalares do campo são
- o campo está definido para todos os pontos
(não existem pontos singulares nas fórmulas dadas).
Passo 2
Conceito e critério prático que vamos usar (explicado passo a passo).
- Um campo vetorial
é conservativo (existe com ) se e somente se for irrotacional (curl zero) em um domínio simplesmente conexo. - O rotacional (curl) é o vetor
- Observação prática: como as componentes de
são funções polinomiais e trigonométricas definidas em toda , o domínio é , que é simplesmente conexo. Assim, basta verificar que em para concluir que é conservativo.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais necessárias para o rotacional.
- Calcular
: - Calcular
: - Então a primeira componente do rotacional é
Passo 4
Continuar com as outras componentes do rotacional.
- Calcular
: pois não há em . - Calcular
: pois não há em . - Então a segunda componente do rotacional é
Passo 5
Calcular a terceira componente do rotacional.
- Calcular
: - Calcular
: - Portanto a terceira componente do rotacional é
Passo 6
Concluir sobre conservatividade.
- Como todas as três componentes do rotacional são zero, temos
- Como o domínio é
, que é simplesmente conexo, pelo critério explicado antes isso implica que é um campo conservativo; existe, portanto, uma função potencial tal que .
Passo 7
Estratégia para encontrar a função potencial.
- Procuramos
satisfazendo as igualdades parciais - Método prático: integrar a primeira equação em relação a
para obter com uma “constante” de integração que pode depender de e . Depois impor as outras duas igualdades para determinar essa função auxiliar.
Passo 8
Integrar
em relação a
.
- Integração:
onde é uma função arbitrária de e (porque a derivada parcial em de é zero).
Passo 9
Determinar
usando a condição
.
- Calcular
a partir da expressão obtida: - Igualar à componente
: - Cancelando os termos iguais
dos dois lados, obtemos
Passo 10
Integrar
em relação a
.
-
Como
é visto como constante em relação a , a integração dá ondeé uma função arbitrária de . -
Assim temos, até agora,
Passo 11
Determinar
usando a condição
.
- Calcular
da expressão atual: - Igualar a
: - Cancelando
, obtemos
Passo 12
Integrar
para obter
.
-
Integração:onde
é constante absoluta (número real). -
Portanto a função potencial completa é
Passo 13
Verificação rápida (checando derivadas parciais).
- Derivando
em : - Derivando em
: - Derivando em
: - As três coincidências confirmam que
.