prove que o campo de forças dado é conservativo e ache uma função potencial.
\mathbf{F}(x, y, z)=(2 x \cos y-3) \mathbf{i}-\left(x^{2} \operatorname{sen} y+z^{2}\right) \mathbf{j}-(2 y z-2) \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado fornece o campo de forças
\mathbf{F}(x,y,z)=(2x\cos y-3)\,\mathbf{i}-\bigl(x^{2}\sin y+z^{2}\bigr)\,\mathbf{j}-(2yz-2)\,\mathbf{k}
e pede duas coisas:
  • provar que o campo é conservativo;
  • encontrar uma função potencial para o campo (ou seja, uma função \varphi(x,y,z) tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}).
As informações relevantes que temos:
  • as componentes escalares do campo são P(x,y,z)=2x\cos y-3, \qquad Q(x,y,z)=-x^{2}\sin y - z^{2}, \qquad R(x,y,z)=-2yz+2.
  • o campo está definido para todos os pontos (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3} (não existem pontos singulares nas fórmulas dadas).

Passo 2

Conceito e critério prático que vamos usar (explicado passo a passo).
  • Um campo vetorial \mathbf{F}=(P,Q,R) é conservativo (existe \varphi com \nabla\varphi=\mathbf{F}) se e somente se \mathbf{F} for irrotacional (curl zero) em um domínio simplesmente conexo.
  • O rotacional (curl) é o vetor \nabla\times\mathbf{F}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right).
  • Observação prática: como as componentes de \mathbf{F} são funções polinomiais e trigonométricas definidas em toda \mathbb{R}^{3}, o domínio é \mathbb{R}^{3}, que é simplesmente conexo. Assim, basta verificar que \nabla\times\mathbf{F}=0 em \mathbb{R}^{3} para concluir que \mathbf{F} é conservativo.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais necessárias para o rotacional.
  • Calcular \dfrac{\partial R}{\partial y}: \frac{\partial R}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(-2yz+2)=-2z.
  • Calcular \dfrac{\partial Q}{\partial z}: \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(-x^{2}\sin y - z^{2})=-2z.
  • Então a primeira componente do rotacional é \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}=-2z-(-2z)=0.

Passo 4

Continuar com as outras componentes do rotacional.
  • Calcular \dfrac{\partial P}{\partial z}: \frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(2x\cos y-3)=0,pois não há z em P.
  • Calcular \dfrac{\partial R}{\partial x}: \frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(-2yz+2)=0,pois não há x em R.
  • Então a segunda componente do rotacional é \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}=0-0=0.

Passo 5

Calcular a terceira componente do rotacional.
  • Calcular \dfrac{\partial Q}{\partial x}: \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(-x^{2}\sin y - z^{2})=-2x\sin y.
  • Calcular \dfrac{\partial P}{\partial y}: \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2x\cos y-3)=2x\cdot(-\sin y)=-2x\sin y.
  • Portanto a terceira componente do rotacional é \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=-2x\sin y-(-2x\sin y)=0.

Passo 6

Concluir sobre conservatividade.
  • Como todas as três componentes do rotacional são zero, temos \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}\quad\text{em }\mathbb{R}^{3}.
  • Como o domínio é \mathbb{R}^{3}, que é simplesmente conexo, pelo critério explicado antes isso implica que \mathbf{F} é um campo conservativo; existe, portanto, uma função potencial \varphi(x,y,z) tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}.

Passo 7

Estratégia para encontrar a função potencial.
  • Procuramos \varphi satisfazendo as igualdades parciais \frac{\partial\varphi}{\partial x}=P=2x\cos y-3, \qquad \frac{\partial\varphi}{\partial y}=Q=-x^{2}\sin y - z^{2}, \qquad \frac{\partial\varphi}{\partial z}=R=-2yz+2.
  • Método prático: integrar a primeira equação em relação a x para obter \varphi com uma “constante” de integração que pode depender de y e z. Depois impor as outras duas igualdades para determinar essa função auxiliar.

Passo 8

Integrar \dfrac{\partial\varphi}{\partial x}=2x\cos y-3 em relação a x.
  • Integração: \varphi(x,y,z)=\int(2x\cos y-3)\,dx = x^{2}\cos y -3x + g(y,z),onde g(y,z) é uma função arbitrária de y e z (porque a derivada parcial em x de g é zero).

Passo 9

Determinar g(y,z) usando a condição \dfrac{\partial\varphi}{\partial y}=Q.
  • Calcular \dfrac{\partial\varphi}{\partial y} a partir da expressão obtida: \frac{\partial\varphi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}\cos y -3x + g(y,z)\bigr) = -x^{2}\sin y + \frac{\partial g}{\partial y}(y,z).
  • Igualar à componente Q: -x^{2}\sin y + \frac{\partial g}{\partial y}(y,z) = -x^{2}\sin y - z^{2}.
  • Cancelando os termos iguais -x^{2}\sin y dos dois lados, obtemos \frac{\partial g}{\partial y}(y,z) = -z^{2}.

Passo 10

Integrar \dfrac{\partial g}{\partial y}=-z^{2} em relação a y.
  • Como -z^{2} é visto como constante em relação a y, a integração dá
    g(y,z)=\int -z^{2}\,dy = -y z^{2} + h(z),
    onde h(z) é uma função arbitrária de z.
  • Assim temos, até agora,
    \varphi(x,y,z)=x^{2}\cos y -3x - y z^{2} + h(z).

Passo 11

Determinar h(z) usando a condição \dfrac{\partial\varphi}{\partial z}=R.
  • Calcular \dfrac{\partial\varphi}{\partial z} da expressão atual: \frac{\partial\varphi}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x^{2}\cos y -3x - y z^{2} + h(z)\bigr) = -2yz + h'(z).
  • Igualar a R: -2yz + h'(z) = -2yz + 2.
  • Cancelando -2yz, obtemos h'(z)=2.

Passo 12

Integrar h'(z)=2 para obter h(z).
  • Integração:
    h(z)=\int 2\,dz = 2z + C,
    onde C é constante absoluta (número real).
  • Portanto a função potencial completa é
    \varphi(x,y,z)=x^{2}\cos y -3x - y z^{2} + 2z + C.

Passo 13

Verificação rápida (checando derivadas parciais).
  • Derivando \varphi em x: \frac{\partial\varphi}{\partial x}=2x\cos y -3 = P.
  • Derivando em y: \frac{\partial\varphi}{\partial y}=-x^{2}\sin y - z^{2} = Q.
  • Derivando em z: \frac{\partial\varphi}{\partial z}=-2yz + 2 = R.
  • As três coincidências confirmam que \nabla\varphi=\mathbf{F}.

Resposta

\varphi(x,y,z)=x^{2}\cos y-3x-yz^{2}+2z+C, onde C é constante real.

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