Prove que o campo vetorial dado é conservativo e ache uma função potencial.
Passo 1
Neste exercício vamos provar que o campo vetorial
é conservativo e encontrar uma função potencial. O conteúdo envolve definição de campo conservativo, cálculo de derivadas parciais para verificar
e integração para obter a função potencial.
Passo 2
Para provar que
é conservativo precisamos mostrar que seu rotor é nulo. Seja
,
e
. Calculamos as derivadas parciais:
Como todas as igualdades
,
e
valem, o rotor de
é zero.
Passo 3
O domínio do campo
é todo
, que é simplesmente conexo. Segundo o teorema de Poincaré, um campo vetorial com rotor nulo em um domínio simplesmente conexo é conservativo. Logo,
é conservativo.
Passo 4
Para encontrar a função potencial
satisfazendo
usamos as componentes. Primeiramente, integramos
em relação a
:
onde
é uma função a determinar.
Passo 5
Derivando
em relação a
obtemos
que deve ser igual a
. Daí
Integrando em
vem
com
a nova função desconhecida.
Passo 6
Agora derivamos
em relação a
:
que deve coincidir com
. Assim
Passo 7
Juntando tudo, a função potencial geral é
Podemos tomar
sem perda de generalidade.