Prove que o campo vetorial dado é conservativo e ache uma função potencial.

Passo 1

Neste exercício vamos provar que o campo vetorial F(x,y,z)=(x^2-y)i-(x-3z)j+(z+3y)k é conservativo e encontrar uma função potencial. O conteúdo envolve definição de campo conservativo, cálculo de derivadas parciais para verificar nablatimes F=0 e integração para obter a função potencial.

Passo 2

Para provar que F é conservativo precisamos mostrar que seu rotor é nulo. Seja P=x^2-y, Q=-x+3z e R=z+3y. Calculamos as derivadas parciais:
partial Ppartial y = -1, partial Qpartial x = -1
partial Ppartial z = 0, partial Rpartial x = 0
partial Qpartial z = 3, partial Rpartial y = 3
Como todas as igualdades partial P/partial y=partial Q/partial x, partial P/partial z=partial R/partial x e partial Q/partial z=partial R/partial y valem, o rotor de F é zero.

Passo 3

O domínio do campo F é todo R^3, que é simplesmente conexo. Segundo o teorema de Poincaré, um campo vetorial com rotor nulo em um domínio simplesmente conexo é conservativo. Logo, F é conservativo.

Passo 4

Para encontrar a função potencial phi(x,y,z) satisfazendo nablaphi=F usamos as componentes. Primeiramente, integramos
partial phipartial x = x^2 - y
em relação a x:
phi(x,y,z) = integral (x^2 - y),dx = x^33 - xy + h(y,z),
onde h(y,z) é uma função a determinar.

Passo 5

Derivando phi em relação a y obtemos
partial phipartial y = -x + partial hpartial y,
que deve ser igual a Q=-x+3z. Daí
partial hpartial y = 3z
Integrando em y vem
h(y,z) = 3yz + g(z),
com g(z) a nova função desconhecida.

Passo 6

Agora derivamos phi em relação a z:
partial phipartial z = partialpartial zl(x^33 - xy + 3yz + g(z)r) = 3y + g'(z),
que deve coincidir com R=z+3y. Assim
g'(z) = z Longrightarrow g(z) = z^22 + C

Passo 7

Juntando tudo, a função potencial geral é
phi(x,y,z) = x^33 - xy + 3yz + z^22 + C
Podemos tomar C=0 sem perda de generalidade.

Resposta

phi(x,y,z)=x^33-xy+3yz+z^22

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