Seja X um espaço normado.
(a) Mostre que toda sequência convergente em X é limitada, de Cauchy e possui um único limite.

Passo 1

O enunciado diz: seja X um espaço normado e (xn)subset X uma sequência que converge para algum xin X. Precisamos mostrar três coisas usando apenas a definição de convergência em espaço normado e a desigualdade triangular:
  1. (xn) é limitada.
  2. (xn) é de Cauchy.
  3. O limite de (xn) é único.

Passo 2

Mostrando que (xn) é limitada.
Convergência significa que existe NinN tal que para todo n>= N vale
|xn - x| < 1
Daí, para n>= N, pela desigualdade triangular,
|xn| <= |xn - x| + |x| < 1 + |x|
Para os índices n< N temos apenas um número finito de termos x1,dots,xN-1, logo seu máximo de norma é finito. Portanto existe constante
M = maxl|x|+1,;max1<= k< N|xk|r
tal que |xn|<= M para todo n. Assim (xn) é limitada.

Passo 3

Mostrando que (xn) é de Cauchy.
Dado varepsilon>0, como xnto x, existe N tal que para todo n>= N vale
|xn - x|<varepsilon2
Então, para quaisquer m,n>= N, a desigualdade triangular dá
|xn - xm|<= |xn - x| + |x - xm| < varepsilon2 + varepsilon2 = varepsilon
Isto mostra que (xn) satisfaz a definição de sequência de Cauchy.

Passo 4

Mostrando unicidade do limite.
Suponha que xnto x e também xnto y. Dado varepsilon>0, escolha N grande o suficiente para que para todo n>= N valha simultaneamente
|xn - x|<varepsilon2e |xn - y|<varepsilon2
Então, pela desigualdade triangular,
|x - y|<= |x - xn| + |xn - y| < varepsilon2 + varepsilon2 = varepsilon
Como isso vale para todo varepsilon>0, segue que |x - y|=0, ou seja, x=y.

Resposta

Portanto, em qualquer espaço normado, toda sequência convergente é limitada, é de Cauchy e seu limite é único.

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