Seja
um espaço normado.
(a) Mostre que toda sequência convergente em
é limitada, de Cauchy e possui um único limite.
(a) Mostre que toda sequência convergente em
Passo 1
O enunciado diz: seja
um espaço normado e
uma sequência que converge para algum
. Precisamos mostrar três coisas usando apenas a definição de convergência em espaço normado e a desigualdade triangular:
-
é limitada. -
é de Cauchy. - O limite de
é único.
Passo 2
Mostrando que
é limitada.
Convergência significa que existe tal que para todo
vale
Convergência significa que existe
Daí, para
, pela desigualdade triangular,
Para os índices
temos apenas um número finito de termos
, logo seu máximo de norma é finito. Portanto existe constante
tal que
para todo
. Assim
é limitada.
Passo 3
Mostrando que
é de Cauchy.
Dado , como
, existe
tal que para todo
vale
Dado
Então, para quaisquer
, a desigualdade triangular dá
Isto mostra que
satisfaz a definição de sequência de Cauchy.
Passo 4
Mostrando unicidade do limite.
Suponha que e também
. Dado
, escolha
grande o suficiente para que para todo
valha simultaneamente
Suponha que
Então, pela desigualdade triangular,
Como isso vale para todo
, segue que
, ou seja,
.
Resposta
Portanto, em qualquer espaço normado, toda sequência convergente é limitada, é de Cauchy e seu limite é único.