Determine o vértice, foco e equação da diretriz da parábola:
y=-2 x^2+4 x+1

Passo 1

O enunciado dá a parábola
y = -2x^2 + 4x + 1
que é uma parábola vertical (abre para baixo, pois a=-2<0). Precisamos achar o vértice, o foco e a equação da diretriz. Para isso:
– uso xv = -tfracb2a para o vértice,
– escrevo na forma de vértice y - k = a(x - h)^2,
– converto para (x - h)^2 = 4p,(y - k) e extraio p,
– daí foco (h,k+p) e diretriz y = k - p.

Passo 2

Calculando o vértice:
xv = -b2a = -42cdot(-2) = 1,
yv = -2cdot(1)^2 + 4cdot1 + 1 = 3
Logo o vértice é (1,3).

Passo 3

Colocando na forma de vértice:
y - 3 = -2,(x - 1)^2
Isolando (x-1)^2 para a forma padrão:
(x - 1)^2 = -tfrac12,(y - 3)
Daí 4p = -tfrac12, ou seja
p = -tfrac18

Passo 4

Como h=1, k=3 e p=-tfrac18:
– foco
(h,,k+p) = l(1,,3 - tfrac18r) = l(1,,tfrac238r),
– diretriz
y = k - p = 3 - l(-tfrac18r) = tfrac258

Resposta

Vértice: (1,3)
Foco: l(1,tfrac238r)
Diretriz: y = tfrac258

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