Prove que todo polinômio de grau 1 é bijetor.

Passo 1

Resumo do enunciado: mostrar que qualquer polinômio de grau 1 é bijetor.
Conteúdo: funções, injeção, sobrejeção e bijeção, e polinômio de grau 1.
O que precisamos:
  • Definir um polinômio de grau 1 como com .
  • Usar a definição de injetora: se , então .
  • Usar a definição de sobrejetora: para todo existe tal que .

Passo 2

Definição do polinômio de grau 1:
, onde e são números reais e .
Por “grau 1” entendemos que o maior expoente de é 1, e o coeficiente desse termo (ou seja, ) não é zero.

Passo 3

Provar que ax1 + b = ax2 + b é injetora.
Teoria: uma função ax1 = ax2 é injetora se x1 = x2 implica .
Resolução:
Suponha .
Então
Subtraindo dos dois lados:
Como , podemos dividir por :
Logo, é injetora.

Passo 4

Provar que p(x)=y Long<=ftrightarrow ax + b = y é sobrejetora.
Teoria: uma função ax = y - b Longrightarrow x = y - ba é sobrejetora se para todo no contradomínio existe no domínio tal que .
Resolução:
Dado qualquer , queremos achar com
Isolando :
Como , essa divisão é válida e define .
Portanto, para todo existe um tal que , e é sobrejetora.

Passo 5

Conclusão: sendo injetora e sobrejetora, ela é bijetora.

Resposta

Todo polinômio de grau 1, da forma com , é bijetor.

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