Prove que todo polinômio de grau 1 é bijetor.
Passo 1
Resumo do enunciado: mostrar que qualquer polinômio de grau 1 é bijetor.
Conteúdo: funções, injeção, sobrejeção e bijeção, e polinômio de grau 1.
O que precisamos:
Conteúdo: funções, injeção, sobrejeção e bijeção, e polinômio de grau 1.
O que precisamos:
- Definir um polinômio de grau 1 como
com . - Usar a definição de injetora: se
, então . - Usar a definição de sobrejetora: para todo
existe tal que .
Passo 2
Definição do polinômio de grau 1:
, onde
e
são números reais e
.
Por “grau 1” entendemos que o maior expoente de é 1, e o coeficiente desse termo (ou seja,
) não é zero.
Por “grau 1” entendemos que o maior expoente de
Passo 3
Provar que
é injetora.
Teoria: uma função é injetora se
implica
.
Resolução:
Suponha .
Então
Teoria: uma função
Resolução:
Suponha
Então
Subtraindo
dos dois lados:
Como
, podemos dividir por
:
Logo,
é injetora.
Passo 4
Provar que
é sobrejetora.
Teoria: uma função é sobrejetora se para todo
no contradomínio existe
no domínio tal que
.
Resolução:
Dado qualquer , queremos achar
com
Teoria: uma função
Resolução:
Dado qualquer
Isolando
:
Como
, essa divisão é válida e define
.
Portanto, para todo existe um
tal que
, e
é sobrejetora.
Portanto, para todo
Passo 5
Conclusão: sendo
injetora e sobrejetora, ela é bijetora.
Resposta
Todo polinômio de grau 1, da forma
com
, é bijetor.