Usando o resultado do exercício anterior, calcule varphi^prime(x) em cada caso abaixo.
c) varphi(x)=integralx^2-1^e^x cos (t^2) d t

Passo 1

O enunciado define
varphi(x)=integralx^2-1^e^xcosl(t^2r),dt
e pede varphi'(x). O assunto é a derivada de uma integral com limites variáveis, para a qual usamos a regra de Leibniz:
ddx,integrala(x)^b(x)f(t),dt ;=; fl(b(x)r),b'(x);-;fl(a(x)r),a'(x)

Passo 2

Aqui temos
a(x)=x^2-1, b(x)=e^x, f(t)=cosl(t^2r)
Calculando as derivadas dos limites:
a'(x)=ddx(x^2-1)=2x, b'(x)=ddxe^x=e^x

Passo 3

Aplicando a regra de Leibniz com f(a(x))=cosl((x^2-1)^2r) e f(b(x))=cosl((e^x)^2r)=cos(e^2x), obtemos
varphi'(x) =cosl(e^2xr),e^x ;-;cosl((x^2-1)^2r),2x

Resposta

varphi'(x) =;e^x,cosl(e^2xr) ;-;2x,cosl((x^2-1)^2r)

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