Determine z de forma que o triângulo de vértices i, z e i z seja eqüilátero.
Passo 1
O enunciado pede: determinar todos os números complexos z tais que o triângulo de vértices i, z e i z seja equilátero.
Informações dadas: os três vértices são os pontos complexos \,i\,,\;z\,,\;i z.
O que se deseja: encontrar todas as soluções z\in\mathbb{C} que fazem com que as três distâncias entre esses pontos sejam iguais.
Passo 2
Conceito-chave (explicação didática): em números complexos, multiplicar por um número de módulo 1 é uma rotação no plano complexo. Em particular, multiplicar por e^{i\theta} corresponde a girar por \theta radianos. Para um triângulo ser equilátero, ao sair de um vértice e seguir dois lados que partem desse vértice, os dois vetores que representam esses lados diferem por uma rotação de \pm 60^\circ (ou \pm \pi/3 rad). Portanto, ao escolher um vértice como referência, a razão entre os dois vetores que saem desse vértice deve ser e^{\pm i\pi/3}.
Aplicando isso ao nosso caso, tomo o vértice \,i como referência: os vetores que saem de i são z-i e i z - i. A condição de equilátero é
\frac{z - i}{i z - i}=e^{\pm i\pi/3}.
Aqui cada símbolo significa: z é o ponto desconhecido, i z é o produto complexo (rotação de z por \pi/2), e e^{\pm i\pi/3} representa as rotações de \pm 60^\circ.
Passo 3
Simplifico a razão usando i z - i = i(z-1). Assim a equação fica
\frac{z - i}{i(z-1)}=e^{\pm i\pi/3}.
Multiplicando ambos os lados por i(z-1) obtenho uma equação linear em z:
z - i = k\,(z-1),
onde defini k = i\,e^{\pm i\pi/3}.
Passo 4
Calculo k. Usando potências de e^{i\theta}:
k = i\,e^{\pm i\pi/3} = e^{i\pi/2}\,e^{\pm i\pi/3} = e^{i(\pi/2\pm\pi/3)}.
Os ângulos somam para \pi/2+\pi/3=\pi/6 e \pi/2-\pi/3=5\pi/6. Logo os dois casos são
Resumo e comentário final: obtivemos dois valores de z. Ambos são múltiplos reais do vetor 1+i (ou seja, ficam sobre a reta y=x no plano), um com coeficiente positivo e outro negativo, correspondendo aos dois tipos de rotação \pm 60^\circ. Esses dois z geram triângulos equiláteros com vértices i,z,iz.