Determine z de forma que o triângulo de vértices i, z e i z seja eqüilátero.

Passo 1

O enunciado pede: determinar todos os números complexos z tais que o triângulo de vértices i, z e i z seja equilátero.
Informações dadas: os três vértices são os pontos complexos \,i\,,\;z\,,\;i z.
O que se deseja: encontrar todas as soluções z\in\mathbb{C} que fazem com que as três distâncias entre esses pontos sejam iguais.

Passo 2

Conceito-chave (explicação didática): em números complexos, multiplicar por um número de módulo 1 é uma rotação no plano complexo. Em particular, multiplicar por e^{i\theta} corresponde a girar por \theta radianos. Para um triângulo ser equilátero, ao sair de um vértice e seguir dois lados que partem desse vértice, os dois vetores que representam esses lados diferem por uma rotação de \pm 60^\circ (ou \pm \pi/3 rad). Portanto, ao escolher um vértice como referência, a razão entre os dois vetores que saem desse vértice deve ser e^{\pm i\pi/3}.
Aplicando isso ao nosso caso, tomo o vértice \,i como referência: os vetores que saem de i são z-i e i z - i. A condição de equilátero é
\frac{z - i}{i z - i}=e^{\pm i\pi/3}.
Aqui cada símbolo significa: z é o ponto desconhecido, i z é o produto complexo (rotação de z por \pi/2), e e^{\pm i\pi/3} representa as rotações de \pm 60^\circ.

Passo 3

Simplifico a razão usando i z - i = i(z-1). Assim a equação fica
\frac{z - i}{i(z-1)}=e^{\pm i\pi/3}.
Multiplicando ambos os lados por i(z-1) obtenho uma equação linear em z:
z - i = k\,(z-1),
onde defini k = i\,e^{\pm i\pi/3}.

Passo 4

Calculo k. Usando potências de e^{i\theta}:
k = i\,e^{\pm i\pi/3} = e^{i\pi/2}\,e^{\pm i\pi/3} = e^{i(\pi/2\pm\pi/3)}.
Os ângulos somam para \pi/2+\pi/3=\pi/6 e \pi/2-\pi/3=5\pi/6. Logo os dois casos são
k_1 = e^{i\pi/6}=\frac{\sqrt3}{2}+\frac{i}{2},\qquad k_2 = e^{i5\pi/6}=-\frac{\sqrt3}{2}+\frac{i}{2}.
Da equação z - i = k(z-1) segue
z(1-k)=i-k \quad\Rightarrow\quad z=\frac{i-k}{1-k},
desde que 1-k\neq 0 (o que vale aqui porque k não é 1).

Passo 5

Resolvo para k_1=e^{i\pi/6}=\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{i}{2}.
Calculo numerador e denominador:
i-k_1=-\frac{\sqrt3}{2}+\frac{i}{2},\qquad 1-k_1=\frac{2-\sqrt3}{2}-\frac{i}{2}.
Multiplicando numerador e denominador por 2 para evitar frações:
N'=-\sqrt3+i,\qquad D'=2-\sqrt3-i.
Faço a divisão z=\dfrac{N'}{D'} multiplicando numerador e denominador pelo conjugado de D':
\frac{N'\overline{D'}}{|D'|^2}=\frac{(-\sqrt3+i)(2-\sqrt3+i)}{(2-\sqrt3)^2+1}.
Calculando o produto no numerador obtemos
(-\sqrt3+i)(2-\sqrt3+i)=2(1-\sqrt3)(1+i).
O denominador dá
(2-\sqrt3)^2+1=4(2-\sqrt3).
Assim
z=\frac{2(1-\sqrt3)(1+i)}{4(2-\sqrt3)}=\frac{1-\sqrt3}{2(2-\sqrt3)}(1+i).
Simplifico a fração \dfrac{1-\sqrt3}{2-\sqrt3} multiplicando numerador e denominador por 2+\sqrt3:
\frac{1-\sqrt3}{2-\sqrt3}=\frac{(1-\sqrt3)(2+\sqrt3)}{1}=-1-\sqrt3.
Portanto
z=-\frac{1+\sqrt3}{2}(1+i).
Em forma cartesiana:
z=-\frac{1+\sqrt3}{2}-i\frac{1+\sqrt3}{2}.

Passo 6

Agora resolvo para k_2=e^{i5\pi/6}=-\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{i}{2}.
Calculo numerador e denominador:
i-k_2=\frac{\sqrt3}{2}+\frac{i}{2},\qquad 1-k_2=\frac{2+\sqrt3}{2}-\frac{i}{2}.
Multiplicando por 2:
N'=\sqrt3+i,\qquad D'=2+\sqrt3-i.
Faço a divisão z=\dfrac{N'}{D'} multiplicando pelo conjugado de D':
\frac{(\sqrt3+i)(2+\sqrt3+i)}{(2+\sqrt3)^2+1}.
O produto no numerador dá
(\sqrt3+i)(2+\sqrt3+i)=2(1+\sqrt3)(1+i).
O denominador dá
(2+\sqrt3)^2+1=4(2+\sqrt3).
Logo
z=\frac{2(1+\sqrt3)(1+i)}{4(2+\sqrt3)}=\frac{1+\sqrt3}{2(2+\sqrt3)}(1+i).
Simplifico \dfrac{1+\sqrt3}{2+\sqrt3} multiplicando por 2-\sqrt3:
\frac{1+\sqrt3}{2+\sqrt3}=\frac{(1+\sqrt3)(2-\sqrt3)}{1}=\sqrt3-1.
Portanto
z=\frac{\sqrt3-1}{2}(1+i).
Em forma cartesiana:
z=\frac{\sqrt3-1}{2}+i\frac{\sqrt3-1}{2}.

Passo 7

Resumo e comentário final: obtivemos dois valores de z. Ambos são múltiplos reais do vetor 1+i (ou seja, ficam sobre a reta y=x no plano), um com coeficiente positivo e outro negativo, correspondendo aos dois tipos de rotação \pm 60^\circ. Esses dois z geram triângulos equiláteros com vértices i,z,iz.

Resposta

\displaystyle z=-\frac{1+\sqrt3}{2}\,(1+i)
\displaystyle z=\frac{\sqrt3-1}{2}\,(1+i)

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