Prove que o conjunto a seguir é um grupo com a operação de multiplicação usual de matrizes.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que
G=gl1&00&1,;-1&00&1,;1&00&-1,;-1&00&-1gr
é um grupo sob a multiplicação usual de matrizes. O conteúdo que vamos usar são os axiomas de grupo: fechamento, existência de elemento neutro, existência de inversos e associatividade.
Passo 2
(Fechamento)
Seja
A=a&00&b, B=c&00&d
com a,b,c,dinpm1. Então
A,B =a&00&b c&00&d =ac&00&bd
Como ac e bd também valem pm1, o produto AB está em G. Logo G é fechado sob multiplicação.
Passo 3
(Associatividade e elemento neutro)
A multiplicação de matrizes é sempre associativa, ou seja, para quaisquer A,B,Cin G vale (AB)C=A(BC).
Além disso,
I=1&00&1
está em G e satisfaz IA=AI=A para todo Ain G. Assim, I é o elemento neutro.
Passo 4
(Inversos)
Dado ;A=a&00&bin G com a,binpm1, seu inverso é
A^-1 =a^-1&00&b^-1 =a&00&b =A,
pois a^2=b^2=1. Como A^-1=Ain G, todo elemento de G possui inverso em G.
Resposta
O conjunto G satisfaz fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inversos, logo é um grupo sob multiplicação de matrizes.