Seja a in G tal que |a|=5. Determine a |a^k| para -8 <= k <= 8.

Passo 1

O enunciado diz que temos um elemento a de um grupo G com ordem |a|=5, e pede para determinar l|a^kr| para inteiros -8<= k<=8. O conteúdo é teoria de grupos finitos, em particular o cálculo da ordem de uma potência de elemento.

Passo 2

O resultado geral que vamos usar é: se l|ar|=n<infty, então para cada inteiro k
l|a^kr| ;=;ngcd(n,k)
A demonstração consiste em mostrar que a^k tem ordem igual ao menor m>0 tal que (a^k)^m=e, ou seja a^km=e, o que equivale a exigir nmid km. O menor m com essa propriedade é m = n/gcd(n,k).

Passo 3

No nosso caso n=5. Logo
l|a^kr| ;=;5gcd(5,k)
Como gcd(5,k)=5 exatamente quando 5mid k, e gcd(5,k)=1 caso contrário, temos:
  • Se 5mid k então l|a^kr|=5/5=1.
  • Se 5nmid k então l|a^kr|=5/1=5.

Passo 4

Agora listamos para -8<= k<=8:
  • Múltiplos de 5 no intervalo: k=-5,0,5. Nestes casos l|a^kr|=1.
  • Para todo outro k em -8,dots,-6,-4,dots,-1,1,dots,4,6,dots,8 tem-se l|a^kr|=5.

Resposta

Para -8<= k<=8:
l|a^kr| = 1, & kin-5,0,5, 5, & caso contrário á

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