O conjunto
com a operação de subtração (-) é um grupo? Justifique.
Passo 1
O enunciado pergunta se o par
é um grupo. Para isso precisamos conferir os quatro axiomas de grupo: (i) fechamento, (ii) associatividade, (iii) existência de elemento identidade e (iv) existência de inversos.
Passo 2
Fechamento: dados
, o resultado
também é um inteiro, logo a operação é fechada em
.
Passo 3
Associatividade: para ser associativa precisamos ter
para todos
. Mas, por exemplo, tomando
,
e
:
e
. Portanto, a subtração não é associativa e já falha nesse requisito.
Passo 4
Elemento identidade: se existisse
com
para todo
, da primeira igualdade viria
, mas então
em geral. Logo, não há elemento identidade.
Passo 5
Inversos: mesmo que quiséssemos, sem identidade não há sentido de inverso para todos os elementos. Assim, não existe inverso universal.
Resposta
Não,
não é grupo, pois a operação não é associativa e não possui elemento identidade (nem inversos para todos os elementos).