O conjunto Z com a operação de subtração (-) é um grupo? Justifique.

Passo 1

O enunciado pergunta se o par (Z,-) é um grupo. Para isso precisamos conferir os quatro axiomas de grupo: (i) fechamento, (ii) associatividade, (iii) existência de elemento identidade e (iv) existência de inversos.

Passo 2

Fechamento: dados a,binZ, o resultado a - b também é um inteiro, logo a operação é fechada em Z.

Passo 3

Associatividade: para ser associativa precisamos ter
(a - b) - c ;=; a - (b - c)
para todos a,b,c. Mas, por exemplo, tomando a=5, b=3 e c=1:
(5 - 3) - 1 = 2 - 1 = 1,
5 - (3 - 1) = 5 - 2 = 3,
e 1 neq 3. Portanto, a subtração não é associativa e já falha nesse requisito.

Passo 4

Elemento identidade: se existisse einZ com
a - e = ae e - a = a
para todo a, da primeira igualdade viria e=0, mas então e - a = 0 - a = -aneq a em geral. Logo, não há elemento identidade.

Passo 5

Inversos: mesmo que quiséssemos, sem identidade não há sentido de inverso para todos os elementos. Assim, não existe inverso universal.

Resposta

Não, (Z,-) não é grupo, pois a operação não é associativa e não possui elemento identidade (nem inversos para todos os elementos).

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