Prove que os conjuntos abaixo são corpos. Destaque em cada caso quem é:
i) 0 é o elemento neutro da adição;
ii) 1 é o elemento neutro da multiplicação;
iii) -x é o inverso aditivo;
iv) x^-1 é o inverso multiplicativo
Q conjunto dos números racionais com as operações:
pq+rs=p cdot s+r cdot qq cdot s e pq cdot rs=p cdot rq cdot s

Passo 1

Então, a gente tem que provar que o conjunto dos números racionais, Q, com as operações de adição e multiplicação definidas por:
pq+rs=p cdot s + r cdot qq cdot s e pq cdot rs = p cdot rq cdot s
é um corpo. Para isso, vamos verificar quatro propriedades fundamentais:
  1. 0 é o elemento neutro da adição.
  2. 1 é o elemento neutro da multiplicação.
  3. -x é o inverso aditivo de x.
  4. x^-1 é o inverso multiplicativo de x.
Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 2

i) 0 é o elemento neutro da adição
Primeiro, vamos entender o que é um elemento neutro da adição. É um número que, quando somado a qualquer outro número racional, não muda esse número. No caso dos racionais, esse número é 0.
Vamos pegar um número qualquer pq em Q e somar com 0:
pq + 0 = pq + 01 = p cdot 1 + 0 cdot qq cdot 1 = pq
Viu? O resultado foi o próprio pq. Então, 0 realmente não muda o número quando somamos.

Passo 3

ii) 1 é o elemento neutro da multiplicação
Agora, precisamos mostrar que multiplicar qualquer número racional por 1 não altera esse número. O elemento neutro da multiplicação é 1.
Pegando pq e multiplicando por 1:
pq cdot 1 = pq cdot 11 = p cdot 1q cdot 1 = pq
Isso confirma que 1 é o neutro da multiplicação para os racionais.

Passo 4

iii) -x é o inverso aditivo de x
O inverso aditivo de um número é aquele que, quando somado ao número original, resulta em 0. Vamos ver para pq:
O inverso aditivo de pq é -pq. Vamos somar:
pq + (-pq) = pq + -pq = p cdot q + (-p) cdot qq cdot q = 0q^2 = 0
Como o resultado foi 0, -pq é realmente o inverso aditivo de pq.

Passo 5

iv) x^-1 é o inverso multiplicativo de x
O inverso multiplicativo de um número x é aquele que, quando multiplicado por x, dá 1. Para pq, o inverso multiplicativo é qp, desde que p neq 0.
Vamos multiplicar:
pq cdot qp = p cdot qq cdot p = pqpq = 1
Assim, qp é realmente o inverso multiplicativo de pq.

Resposta

Com todas as propriedades verificadas, concluímos que Q é um corpo, já que satisfaz os requisitos de ter elementos neutros e inversos tanto para adição quanto para multiplicação.

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