Prove que os conjuntos abaixo são corpos. Destaque em cada caso quem é:
i) 0 é o elemento neutro da adição;
ii) 1 é o elemento neutro da multiplicação;
iii)
é o inverso aditivo;
iv)
é o inverso multiplicativo
conjunto dos números racionais com as operações:
i) 0 é o elemento neutro da adição;
ii) 1 é o elemento neutro da multiplicação;
iii)
iv)
Passo 1
Então, a gente tem que provar que o conjunto dos números racionais,
, com as operações de adição e multiplicação definidas por:
é um corpo. Para isso, vamos verificar quatro propriedades fundamentais:
-
é o elemento neutro da adição. -
é o elemento neutro da multiplicação. -
é o inverso aditivo de . -
é o inverso multiplicativo de .
Vamos resolver isso passo a passo.
Passo 2
i)
é o elemento neutro da adição
Primeiro, vamos entender o que é um elemento neutro da adição. É um número que, quando somado a qualquer outro número racional, não muda esse número. No caso dos racionais, esse número é
.
Vamos pegar um número qualquer
em
e somar com
:
Viu? O resultado foi o próprio
. Então,
realmente não muda o número quando somamos.
Passo 3
ii)
é o elemento neutro da multiplicação
Agora, precisamos mostrar que multiplicar qualquer número racional por
não altera esse número. O elemento neutro da multiplicação é
.
Pegando
e multiplicando por
:
Isso confirma que
é o neutro da multiplicação para os racionais.
Passo 4
iii)
é o inverso aditivo de
O inverso aditivo de um número é aquele que, quando somado ao número original, resulta em
. Vamos ver para
:
O inverso aditivo de
é
. Vamos somar:
Como o resultado foi
,
é realmente o inverso aditivo de
.
Passo 5
iv)
é o inverso multiplicativo de
O inverso multiplicativo de um número
é aquele que, quando multiplicado por
, dá
. Para
, o inverso multiplicativo é
, desde que
.
Vamos multiplicar:
Assim,
é realmente o inverso multiplicativo de
.
Resposta
Com todas as propriedades verificadas, concluímos que
é um corpo, já que satisfaz os requisitos de ter elementos neutros e inversos tanto para adição quanto para multiplicação.