Determine uma solução geral para seguinte equação diferencial
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é
. A matéria aqui é sobre equações diferenciais, especificamente equações de primeira ordem que podem ser separadas. Vamos precisar usar o método de separação de variáveis para encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis
e
. A equação original é:
Vamos dividir ambos os lados por
para isolar os termos envolvendo
de um lado e os termos envolvendo
do outro:
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é que a integral de
vai nos ajudar a encontrar
, e a integral de
vai nos ajudar a encontrar uma expressão em termos de
.
Integrando ambos os lados:
Passo 4
Vamos resolver cada integral:
A integral do lado esquerdo,
, é igual a
.
A integral do lado direito,
, é igual a
.
Então, temos:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Para resolver para
, vamos eliminar o logaritmo natural aplicando a função exponencial em ambos os lados da equação:
Podemos simplificar isso lembrando que
:
Como
é apenas uma constante (já que
é constante), podemos chamar
de uma nova constante
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.