Determine uma solução geral para seguinte equação diferencial y^prime=e^x cdot y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é y^prime = e^x cdot y. A matéria aqui é sobre equações diferenciais, especificamente equações de primeira ordem que podem ser separadas. Vamos precisar usar o método de separação de variáveis para encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis y e x. A equação original é:
dydx = e^x cdot y
Vamos dividir ambos os lados por y para isolar os termos envolvendo y de um lado e os termos envolvendo x do outro:
1y dydx = e^x

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é que a integral de 1y dy vai nos ajudar a encontrar y, e a integral de e^x dx vai nos ajudar a encontrar uma expressão em termos de x.
Integrando ambos os lados:
integral 1y dy = integral e^x dx

Passo 4

Vamos resolver cada integral:
A integral do lado esquerdo, integral 1y dy, é igual a ln|y|.
A integral do lado direito, integral e^x dx, é igual a e^x.
Então, temos:
ln|y| = e^x + C
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Para resolver para y, vamos eliminar o logaritmo natural aplicando a função exponencial em ambos os lados da equação:
y = e^e^x + C
Podemos simplificar isso lembrando que e^a + b = e^a cdot e^b:
y = e^e^x cdot e^C
Como e^C é apenas uma constante (já que C é constante), podemos chamar e^C de uma nova constante K:
y = K cdot e^e^x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C cdot e^e^x
Onde C é uma constante arbitrária.

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