Prove um dê um contra-exemplo:
Se uma curva gamma:[a, b] R^3 está contida numa reta, então gamma^prime(t) é um vetor constante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado que você me mandou diz o seguinte: se uma curva gamma: [a, b] R^3 está contida numa reta, então a derivada da curva, gamma'(t), é um vetor constante. A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, mais especificamente o estudo de curvas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma curva estar numa reta e o que é a derivada de uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a curva gamma(t) estar contida numa reta. Isso quer dizer que todos os pontos da curva estão alinhados numa única reta no espaço R^3. Matemáticamente, podemos representar essa reta como gamma(t) = gamma(a) + (t - a)v, onde v é um vetor constante que indica a direção da reta.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada dessa curva. A derivada gamma'(t) representa o vetor tangente à curva no ponto t. Se substituirmos a expressão da reta na derivada, temos:
gamma'(t) = ddt[gamma(a) + (t - a)v] = v
Aqui, gamma(a) é uma constante, então sua derivada é zero, e a derivada de (t - a)v em relação a t é simplesmente v.

Passo 4

Observamos que gamma'(t) = v, que é um vetor constante, ou seja, não depende de t. Isso significa que, em todos os pontos da curva, o vetor tangente é o mesmo. Em outras palavras, a direção e o sentido da curva são sempre os mesmos, o que confirma que a curva está numa reta.

Passo 5

Portanto, sempre que uma curva gamma(t) está contida numa reta no espaço R^3, a derivada gamma'(t) é um vetor constante. Isso faz sentido porque em uma reta, não há mudança de direção ao longo da curva.

Resposta

Se uma curva gamma: [a, b] R^3 está contida numa reta, então sua derivada gamma'(t) é de fato um vetor constante.

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