Prove um dê um contra-exemplo:
Se uma curva
está contida numa reta, então
é um vetor constante.
Se uma curva
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado que você me mandou diz o seguinte: se uma curva
está contida numa reta, então a derivada da curva,
, é um vetor constante. A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, mais especificamente o estudo de curvas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma curva estar numa reta e o que é a derivada de uma curva.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a curva
estar contida numa reta. Isso quer dizer que todos os pontos da curva estão alinhados numa única reta no espaço
. Matemáticamente, podemos representar essa reta como
, onde
é um vetor constante que indica a direção da reta.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada dessa curva. A derivada
representa o vetor tangente à curva no ponto
. Se substituirmos a expressão da reta na derivada, temos:
Aqui,
é uma constante, então sua derivada é zero, e a derivada de
em relação a
é simplesmente
.
Passo 4
Observamos que
, que é um vetor constante, ou seja, não depende de
. Isso significa que, em todos os pontos da curva, o vetor tangente é o mesmo. Em outras palavras, a direção e o sentido da curva são sempre os mesmos, o que confirma que a curva está numa reta.
Passo 5
Portanto, sempre que uma curva
está contida numa reta no espaço
, a derivada
é um vetor constante. Isso faz sentido porque em uma reta, não há mudança de direção ao longo da curva.
Resposta
Se uma curva
está contida numa reta, então sua derivada
é de fato um vetor constante.