1. Prove que é convergente a série obtida alterando-se os sinais dos termos da série harmônica, de modo que fiquem p termos positivos ( p \in \mathbb{N} fixado) seguidos de p termos negativos, alternadamente.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série obtida da série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
alterando os sinais de modo que apareçam p termos positivos seguidos de p termos negativos, alternadamente, é convergente. O conteúdo principal aqui é agrupamento de termos e teste da comparação com uma série p-séria convergente.

Passo 2

Organizamos a série em blocos de 2p termos. Para cada k\ge0, o bloco k é
S_k \;=\;\sum_{i=1}^{p}\frac{1}{2pk+i}\;-\;\sum_{i=1}^{p}\frac{1}{2pk+p+i}.
Assim a série original pode ser escrita como
\sum_{k=0}^{\infty}S_k.

Passo 3

Em cada termo de S_k usamos a identidade
\frac{1}{a}-\frac{1}{b} \;=\;\frac{b-a}{ab}
com a=2pk+i e b=2pk+p+i. Como b-a=p, obtemos
S_k \;=\;\sum_{i=1}^{p}\frac{p}{(2pk+i)\,(2pk+p+i)} \;=\;p\sum_{i=1}^{p}\frac{1}{(2pk+i)\,(2pk+p+i)}.

Passo 4

Para cada i\in\{1,\dots,p\} vale
(2pk+i)\,(2pk+p+i)\;\ge\;(2pk+p)\,(2pk+p+1)\;\ge\;(2pk+p)^2.
Logo
S_k \;\le\;p\sum_{i=1}^{p}\frac{1}{(2pk+p)^2} \;=\;\frac{p^2}{(2pk+p)^2} \;\le\;\frac{p^2}{(2pk)^2} \;=\;\frac{1}{4k^2}.

Passo 5

Como \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{4k^2} é uma série p-séria com 2>1, ela converge. Pelo teste da comparação, a série
\sum_{k=0}^\infty S_k também converge. Portanto a série original converge.

Resposta

A série obtida alternando p sinais positivos e p sinais negativos na série harmônica é convergente.

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