- Prove que é convergente a série obtida alterando-se os sinais dos termos da série harmônica, de modo que fiquem
termos positivos (
fixado) seguidos de
termos negativos, alternadamente.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série obtida da série harmônica
alterando os sinais de modo que apareçam
termos positivos seguidos de
termos negativos, alternadamente, é convergente. O conteúdo principal aqui é agrupamento de termos e teste da comparação com uma série
-séria convergente.
Passo 2
Organizamos a série em blocos de
termos. Para cada
, o bloco
é
Assim a série original pode ser escrita como
Passo 3
Em cada termo de
usamos a identidade
com
e
. Como
, obtemos
Passo 4
Para cada
vale
Logo
Passo 5
Como
é uma série
-séria com
, ela converge. Pelo teste da comparação, a série
também converge. Portanto a série original converge.
Resposta
A série obtida alternando
sinais positivos e
sinais negativos na série harmônica é convergente.