Prove: uma série \sum a_{n} é absolutamente convergente se, e somente se, é limitado o conjunto de todas as somas finitas formadas com os termos a_{n}.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série \sum a_{n} é absolutamente convergente (isto é, \sum |a_{n}| converge) se, e somente se, o conjunto
S = \Bigl\{\sum_{k\in F}a_{k}\;\Big|\;F\subset\mathbb{N},\;F\text{ finito}\Bigr\}
é limitado.
Conteúdo necessário: definição de convergência absoluta e uso da desigualdade triangular para a ida; separação em termos positivos e negativos para a volta.
Passo 2
(Ida) Suponha \sum |a_{n}| converge. Então existe
L = \sum_{n=1}^{\infty}|a_{n}|<\infty.
Dado qualquer conjunto finito F, pela desigualdade triangular temos
P_{N}-Q_{N}\le M \quad\Longrightarrow\quad P_{N}\le Q_{N}+M.
Passo 4
Mostramos que P_{N} é limitado (caso contrário, P_{N}\to\infty violaria \sum_{k\in F}a_{k}\le M para F=\{k\le N\mid a_{k}>0\}). Pelo mesmo raciocínio, Q_{N} é limitado. Portanto