1. Prove: uma série \sum a_{n} é absolutamente convergente se, e somente se, é limitado o conjunto de todas as somas finitas formadas com os termos a_{n}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série \sum a_{n} é absolutamente convergente (isto é, \sum |a_{n}| converge) se, e somente se, o conjunto
S = \Bigl\{\sum_{k\in F}a_{k}\;\Big|\;F\subset\mathbb{N},\;F\text{ finito}\Bigr\}
é limitado.
Conteúdo necessário: definição de convergência absoluta e uso da desigualdade triangular para a ida; separação em termos positivos e negativos para a volta.

Passo 2

(Ida) Suponha \sum |a_{n}| converge. Então existe
L = \sum_{n=1}^{\infty}|a_{n}|<\infty.
Dado qualquer conjunto finito F, pela desigualdade triangular temos
\Bigl|\sum_{k\in F}a_{k}\Bigr|\le \sum_{k\in F}|a_{k}|\le \sum_{n=1}^{\infty}|a_{n}|=L.
Logo todo elemento de S está em [-L,L], isto é, S é limitado.

Passo 3

(Volta) Suponha S limitado: existe M>0 tal que
\Bigl|\sum_{k\in F}a_{k}\Bigr|\le M \quad\forall\,F\subset\mathbb{N},\;F\text{ finito}.
Defina para cada n
a_{n}^{+}=\max(a_{n},0), \quad a_{n}^{-}=\max(-a_{n},0),
e as somas parciais não decrescentes
P_{N}=\sum_{k=1}^{N}a_{k}^{+}, \quad Q_{N}=\sum_{k=1}^{N}a_{k}^{-}.
Note que \sum_{k=1}^{N}a_{k}=P_{N}-Q_{N} e, como isso é um caso de soma finita, \bigl|P_{N}-Q_{N}\bigr|\le M. Logo
-P_{N}\le -Q_{N}+M \quad\Longrightarrow\quad Q_{N}\le P_{N}+M,
e
P_{N}-Q_{N}\le M \quad\Longrightarrow\quad P_{N}\le Q_{N}+M.

Passo 4

Mostramos que P_{N} é limitado (caso contrário, P_{N}\to\infty violaria \sum_{k\in F}a_{k}\le M para F=\{k\le N\mid a_{k}>0\}). Pelo mesmo raciocínio, Q_{N} é limitado. Portanto
\sum_{n=1}^{\infty}|a_{n}|=\lim_{N\to\infty}(P_{N}+Q_{N})<\infty,
ou seja, \sum a_{n} é absolutamente convergente.

Resposta

Foi demonstrado que \sum a_{n} é absolutamente convergente se, e somente se, o conjunto das somas finitas \{\sum_{k\in F}a_{k}\} é limitado.

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