- Prove que os extremos dos intervalos removidos formam um subconjunto enumerável denso no conjunto de Cantor.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto
formado pelos extremos dos intervalos que são removidos na construção de Cantor é
- um subconjunto de
(o conjunto de Cantor), - enumerável, e
- denso em
.
Vamos usar a construção habitual por etapas: no passoremovemos os intervalos abertos de comprimento . Os pontos que ficam nas bordas desses intervalos são os extremos.
Passo 2
Mostramos que
.
Em cada etapa fica um conjunto
que é união de
fechados de comprimento
. O conjunto de Cantor é
Em cada etapa
Cada extremo de um intervalo removido na etapa
é ponto de fronteira de um dos intervalos que permanecem em
. Logo não é removido em nenhuma etapa posterior, pois só removemos abertos interiores. Assim todo extremo de intervalo removido em alguma etapa pertence a todos os
, isto é, pertence a
.
Passo 3
Mostramos que
é enumerável.
Na etapa removemos
intervalos de comprimento
, cada um contribuindo com 2 extremos. Logo existem exatamente
extremos na etapa
. Assim
Na etapa
onde
. Como cada
é finito e há contavelmente muitos
, a união é enumerável.
Passo 4
Mostramos que
é denso em
.
Seja e seja
qualquer vizinhança aberta de
. Então existe um
tal que o comprimento dos intervalos em
é menor que o diâmetro de
, e como
ele fica em algum subintervalo fechado
de comprimento
.
Ao construirmos , dentro de
removemos seu terço médio, cujos extremos são pontos de
e pertencem a
. Logo encontramos um extremo em
. Como
era qualquer vizinhança de
, concluímos que há pontos de
arbitrariamente próximos de
. Portanto
é denso em
.
Seja
Ao construirmos
Resposta
O conjunto dos extremos dos intervalos removidos é um subconjunto de
, enumerável (contagem sequencial dos períodos) e denso em
. Portanto provamos que esses extremos formam um subconjunto enumerável e denso no conjunto de Cantor.