1. Prove que os extremos dos intervalos removidos formam um subconjunto enumerável denso no conjunto de Cantor.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto E formado pelos extremos dos intervalos que são removidos na construção de Cantor é
  1. um subconjunto de C (o conjunto de Cantor),
  2. enumerável, e
  3. denso em C.
    Vamos usar a construção habitual por etapas: no passo n removemos os intervalos abertos de comprimento 3^{-n}. Os pontos que ficam nas bordas desses intervalos são os extremos.

Passo 2

Mostramos que E\subset C.
Em cada etapa n fica um conjunto F_n que é união de 2^n fechados de comprimento 3^{-n}. O conjunto de Cantor é
C=\bigcap_{n=0}^{\infty}F_n.
Cada extremo de um intervalo removido na etapa n é ponto de fronteira de um dos intervalos que permanecem em F_n. Logo não é removido em nenhuma etapa posterior, pois só removemos abertos interiores. Assim todo extremo de intervalo removido em alguma etapa pertence a todos os F_n, isto é, pertence a C.

Passo 3

Mostramos que E é enumerável.
Na etapa n removemos 2^{n-1} intervalos de comprimento 3^{-n}, cada um contribuindo com 2 extremos. Logo existem exatamente 2^n extremos na etapa n. Assim
E \;=\;\bigcup_{n=1}^{\infty}E_n,
onde \#E_n=2^n. Como cada E_n é finito e há contavelmente muitos n, a união é enumerável.

Passo 4

Mostramos que E é denso em C.
Seja x\in C e seja I qualquer vizinhança aberta de x. Então existe um N tal que o comprimento dos intervalos em F_N é menor que o diâmetro de I, e como x\in F_N ele fica em algum subintervalo fechado J\subset F_N de comprimento 3^{-N}<\mathrm{diam}(I).
Ao construirmos F_{N+1}, dentro de J removemos seu terço médio, cujos extremos são pontos de E e pertencem a J\subset I. Logo encontramos um extremo em I\cap E. Como I era qualquer vizinhança de x, concluímos que há pontos de E arbitrariamente próximos de x. Portanto E é denso em C.

Resposta

O conjunto dos extremos dos intervalos removidos é um subconjunto de C, enumerável (contagem sequencial dos períodos) e denso em C. Portanto provamos que esses extremos formam um subconjunto enumerável e denso no conjunto de Cantor.

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