Dê exemplo de uma série convergente ∑ a_{n} e de uma seqüência limitada \left(x_{n}\right) tais que a série ∑ a_{n} x_{n} seja divergente. Examine o que ocorre se uma das hipóteses seguintes for verificada:
(b) ∑ a_{n} é absolutamente convergente.

Passo 1

O enunciado pede dois itens. Primeiro, encontrar uma série \sum a_{n} que convirja (mas não necessariamente absolutamente) e uma sequência limitada \bigl(x_{n}\bigr) tais que
\sum a_{n}x_{n}
divirja. Em seguida, sob a hipótese extra
(b) \displaystyle \sum a_{n} é absolutamente convergente, analisar o que ocorre com \sum a_{n}x_{n}.

Passo 2

Escolhemos a série de Leibniz e uma oscilação de sinal para x_{n}. Definimos
a_{n} = \frac{(-1)^{n}}{n}, \qquad x_{n} = (-1)^{n}.
Aqui \sum a_{n} é convergente mas não absolutamente convergente, e \bigl(x_{n}\bigr) é claramente limitada, pois \lvert x_{n}\rvert =1 para todo n.

Passo 3

Verificamos que \sum a_{n} converge por Critério de Leibniz (série alternada com termos em módulo decrescente e tendendo a zero), mas
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}x_{n} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}\,(-1)^{n} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
que é a série harmônica e diverge. Logo esse par \bigl(a_{n},x_{n}\bigr) satisfaz o pedido.

Passo 4

Agora suponha que
\sum_{n=1}^{\infty}\lvert a_{n}\rvert
converge. Seja M>0 tal que \lvert x_{n}\rvert \le M para todo n. Então
\lvert a_{n}x_{n}\rvert \le M\,\lvert a_{n}\rvert,
e, pelo Teste da Comparação,
\sum_{n=1}^{\infty}\lvert a_{n}x_{n}\rvert
converge. Logo \sum a_{n}x_{n} converge absolutamente (e portanto converge).

Resposta

Exemplo que funciona sem hipótese de absoluta convergência:
a_{n} = \frac{(-1)^{n}}{n},\quad x_{n} = (-1)^{n},
pois \sum a_{n} converge, \{x_{n}\} é limitada, mas \sum a_{n}x_{n}=\sum1/n diverge.
Se \sum\lvert a_{n}\rvert converge então \sum a_{n}x_{n} converge por comparação, já que \lvert a_{n}x_{n}\rvert\le M\lvert a_{n}\rvert.

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