Dê exemplo de uma série convergente
e de uma seqüência limitada
tais que a série
seja divergente. Examine o que ocorre se uma das hipóteses seguintes for verificada:
(b)
é absolutamente convergente.
(b)
Passo 1
O enunciado pede dois itens. Primeiro, encontrar uma série
que convirja (mas não necessariamente absolutamente) e uma sequência limitada
tais que
divirja. Em seguida, sob a hipótese extra
(b) é absolutamente convergente, analisar o que ocorre com
.
(b)
Passo 2
Escolhemos a série de Leibniz e uma oscilação de sinal para
. Definimos
Aqui
é convergente mas não absolutamente convergente, e
é claramente limitada, pois
para todo
.
Passo 3
Verificamos que
converge por Critério de Leibniz (série alternada com termos em módulo decrescente e tendendo a zero), mas
que é a série harmônica e diverge. Logo esse par
satisfaz o pedido.
Passo 4
Agora suponha que
converge. Seja
tal que
para todo
. Então
e, pelo Teste da Comparação,
converge. Logo
converge absolutamente (e portanto converge).
Resposta
Exemplo que funciona sem hipótese de absoluta convergência:
pois
converge,
é limitada, mas
diverge.
Se converge então
converge por comparação, já que
.
Se