Encontre os pontos de intersecção dos gráficos das equações.
x^2+y^2=25
x-y=1
2 x+y=10

Passo 1

Estamos lidando com uma circunferência de raio 5 dada por x^2+y^2=25 e duas retas x-y=1 e 2x+y=10. Para encontrar onde esses gráficos se cruzam, basta resolver os sistemas de duas equações correspondentes a cada par de curvas.

Passo 2

Intersecção entre a reta x-y=1 e o círculo. Da reta isolamos y=x-1 e substituímos na equação do círculo para obter uma equação quadrática em x.
Substituindo em x^2+y^2=25 temos x^2+(x-1)^2=25, que expande para 2x^2-2x-24=0. Dividindo por 2 dá x^2 - x -12=0, cujas raízes são x=4 e x=-3. Substituindo de volta em y=x-1 obtemos y=3 e y=-4. Logo os pontos são (4,3) e (-3,-4).

Passo 3

Intersecção entre a reta 2x+y=10 e o círculo. Da reta isolamos y=10-2x. Substituindo em x^2+y^2=25 resulta em x^2+(10-2x)^2=25, que expande para 5x^2-40x+75=0 ou, dividindo por 5, x^2-8x+15=0. As raízes são x=3 e x=5, e então y=4 e y=0. Assim os pontos são (3,4) e (5,0).

Passo 4

Intersecção entre as retas x-y=1 e 2x+y=10. Substituindo y=x-1 em 2x+y=10 vem 2x+(x-1)=10, ou seja 3x=11, de onde x=11/3 e y=8/3. O ponto de cruzamento é l(tfrac113,tfrac83r).

Resposta

As intersecções são: entre x-y=1 e x^2+y^2=25: (4,3) e (-3,-4); entre 2x+y=10 e x^2+y^2=25: (3,4) e (5,0); e entre x-y=1 e 2x+y=10: l(tfrac113,tfrac83r).

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