Prove que dada uma matriz A in Mn(R) :
Se lambda é um autovalor de uma matriz inversível A, então lambda^-1 é um autovalor de A^-1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, sendo Ain Mn(R) uma matriz inversível e lambda um autovalor de A, então lambda^-1 é autovalor de A^-1.
Conteúdo: definição de autovalor e autovetor, e uso da inversibilidade de A.

Passo 2

Por hipótese, lambda é autovalor de A. Logo existe um vetor não-nulo vinR^n tal que
A,v = lambda,v
Como A é inversível, não pode ter 0 como autovalor, então lambdaneq0.

Passo 3

Multiplicamos a equação A,v = lambda,v pela esquerda por A^-1:
A^-1(A,v) = A^-1(lambda,v) Longrightarrow v = lambda,(A^-1v)
Isolando A^-1v, divide-se por lambda:
A^-1v = 1lambda,v
Isso mostra que v é autovetor de A^-1 associado ao autovalor 1/lambda.

Resposta

Portanto, se lambda é autovalor de A, então lambda^-1 é autovalor de A^-1.

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