Prove que dada uma matriz
:
Se
é um autovalor de uma matriz inversível
, então
é um autovalor de
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, sendo
uma matriz inversível e
um autovalor de
, então
é autovalor de
.
Conteúdo: definição de autovalor e autovetor, e uso da inversibilidade de .
Conteúdo: definição de autovalor e autovetor, e uso da inversibilidade de
Passo 2
Por hipótese,
é autovalor de
. Logo existe um vetor não-nulo
tal que
Como
é inversível, não pode ter
como autovalor, então
.
Passo 3
Multiplicamos a equação
pela esquerda por
:
Isolando
, divide-se por
:
Isso mostra que
é autovetor de
associado ao autovalor
.
Resposta
Portanto, se
é autovalor de
, então
é autovalor de
.