Sejam
e
. Mostre que
e deduza daí que
.
Passo 1
O enunciado dá duas sequências
e pede duas coisas: (i) mostrar que
; (ii) a partir disso deduzir que
.
As informações relevantes são exatamente as expressões de e
. Neste problema vamos manipular algebricamente as expressões e usar propriedades básicas de limites (por exemplo: se
e
então
; e se
e
então
).
As informações relevantes são exatamente as expressões de
Passo 2
Vamos transformar
de uma forma que facilite a multiplicação com
. Começamos pela parte interna:
Agora observe que
pois se você multiplica numerador e denominador por
obtém exatamente essa igualdade. Portanto podemos reescrever
como
Passo 3
Usando a reescrita de
do passo anterior, calculemos o produto
. Temos
Ao juntar as potências com mesma base
, somam-se os expoentes (lembrando que a segunda potência tem sinal negativo porque é a recíproca):
Portanto encontramos a forma simples
Passo 4
Agora tomamos limite quando
. Primeiro note a propriedade básica:
porque
. Aplicando a continuidade da função recíproca
em
(ou simplesmente vendo que o recíproco de algo que tende a 1 tende a 1), obtemos
Como
para todo
, concluímos
Passo 5
Agora vamos deduzir que
. Primeiro reescrevemos a sequência desejada em termos de
. Observe que, trocando
por
em
, obtemos
Logo
. Assim se encontramos
, o limite de
será o mesmo (o deslocamento finito do índice não altera o limite).
Passo 6
Usamos agora um fato padrão sobre
: a sequência
converge para
(essa é, na prática, uma das definições usuais da constante
, ou pode ser provado mostrando que
é crescente e limitada superiormente por algum número como
, portanto convergente, e o limite é definido como
). Aceitando que
e lembrando do passo 4 em que
, aplicamos a propriedade dos limites: se
com
e
, então
Passo 7
Finalmente, como em
Passo 8
Assim chegamos à conclusão desejada.