Sejam x_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} e y_{n}=\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}. Mostre que \lim x_{n} y_{n}=1 e deduza daí que \left(1-\frac{1}{n}\right)^{n} \longrightarrow e^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá duas sequências
x_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\quad\text{e}\quad y_{n}=\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1},
e pede duas coisas: (i) mostrar que \displaystyle\lim_{n\to\infty} x_{n}y_{n}=1; (ii) a partir disso deduzir que \displaystyle\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}\longrightarrow e^{-1}.
As informações relevantes são exatamente as expressões de x_{n} e y_{n}. Neste problema vamos manipular algebricamente as expressões e usar propriedades básicas de limites (por exemplo: se a_n\to A e b_n\to B então a_n b_n\to AB; e se A\neq0 e a_n b_n\to L então b_n\to L/A).

Passo 2

Vamos transformar y_{n} de uma forma que facilite a multiplicação com x_{n}. Começamos pela parte interna:
1-\frac{1}{n+1}=\frac{n+1-1}{n+1}=\frac{n}{n+1}.
Agora observe que
\frac{n}{n+1}=\frac{1}{1+\frac{1}{n}},
pois se você multiplica numerador e denominador por 1/n obtém exatamente essa igualdade. Portanto podemos reescrever y_{n} como
y_{n}=\left(\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\right)^{n+1}.

Passo 3

Usando a reescrita de y_{n} do passo anterior, calculemos o produto x_{n}y_{n}. Temos
x_{n}y_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\cdot\left(\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\right)^{n+1}.
Ao juntar as potências com mesma base \displaystyle 1+\frac{1}{n}, somam-se os expoentes (lembrando que a segunda potência tem sinal negativo porque é a recíproca):
x_{n}y_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n-(n+1)}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-1}.
Portanto encontramos a forma simples
x_{n}y_{n}=\frac{1}{1+\frac{1}{n}}.

Passo 4

Agora tomamos limite quando n\to\infty. Primeiro note a propriedade básica:
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)=1,
porque \frac{1}{n}\to 0. Aplicando a continuidade da função recíproca t\mapsto 1/t em t=1 (ou simplesmente vendo que o recíproco de algo que tende a 1 tende a 1), obtemos
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{n}}=\frac{1}{1}=1.
Como x_{n}y_{n}=\dfrac{1}{1+\frac{1}{n}} para todo n, concluímos
\lim_{n\to\infty} x_{n}y_{n}=1.

Passo 5

Agora vamos deduzir que \left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}\to e^{-1}. Primeiro reescrevemos a sequência desejada em termos de y_{n}. Observe que, trocando n por n-1 em y_{n}, obtemos
y_{n-1}=\left(1-\frac{1}{(n-1)+1}\right)^{(n-1)+1}=\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}.
Logo \left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}=y_{n-1}. Assim se encontramos \lim_{n\to\infty}y_{n}, o limite de y_{n-1} será o mesmo (o deslocamento finito do índice não altera o limite).

Passo 6

Usamos agora um fato padrão sobre x_{n}: a sequência
x_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}
converge para e (essa é, na prática, uma das definições usuais da constante e, ou pode ser provado mostrando que x_n é crescente e limitada superiormente por algum número como 3, portanto convergente, e o limite é definido como e). Aceitando que \lim_{n\to\infty} x_{n}=e e lembrando do passo 4 em que \lim_{n\to\infty} x_{n}y_{n}=1, aplicamos a propriedade dos limites: se x_n\to e com e\neq 0 e x_n y_n\to 1, então
\lim_{n\to\infty} y_{n}=\frac{1}{\lim_{n\to\infty} x_{n}}=\frac{1}{e}=e^{-1}.

Passo 7

Finalmente, como em

Passo 8

\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}=\lim_{n\to\infty}y_{n-1}=e^{-1}.
Assim chegamos à conclusão desejada.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty} x_{n}y_{n}=1\n \displaystyle \left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}\longrightarrow e^{-1}

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