Prove, por definição, que
lim x -1 / 3 9 x^2-13 x+1=-2

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição ε–δ de limite, que limxto -tfrac139x^2-13x+1=-2. O conteúdo envolvido é limite de função racional e usaremos a estratégia de fatorar e escolher δ em função de ε.

Passo 2

Observe que 9x^2-1 se fatoriza como (3x-1)(3x+1). Para xneq -tfrac13 temos
9x^2-13x+1=3x-1

Passo 3

Vamos analisar a diferença entre a função e o valor candidato ao limite: seja f(x)=9x^2-13x+1. Então
|f(x)-(-2)|=|3x-1+2|=|3x+1|=3,|x+tfrac13|

Passo 4

Para provar que |f(x)+2| sempre que 0<|x+tfrac13|, basta escolher de de modo que
3,|x+tfrac13|
Logo, fixando de, garantimos que |f(x)+2| sempre que 0<|x+tfrac13|.

Passo 5

Assim, pela definição de limite (para todo varepsilon>0 existe de0 tal que …), concluímos que
limxto -tfrac139x^2-13x+1=-2

Resposta

Concluímos, por definição ε–δ de limite, que limxto -tfrac139x^2-13x+1=-2.

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