Determine os polinômios de Taylor até quarta ordem, em torno de x=0, das seguintes funções
(e) x^4+x^2+1

Passo 1

A função dada é f(x) = x⁴ + x² + 1 e queremos o polinômio de Taylor de ordem 4 em torno de x = 0. O conteúdo aqui é o desenvolvimento de Taylor, e vamos precisar usar a definição que envolve derivadas de f em x = 0 até a quarta ordem.

Passo 2

A definição do polinômio de Taylor de ordem n em torno de x = 0 é
Tn(x) = sumk=0^n f^(k)(0)k!,x^k
Então precisamos calcular f(0), f’(0), f’’(0), f⁽³⁾(0) e f⁽⁴⁾(0).

Passo 3

Calculando as derivadas:
– f(x) = x⁴ + x² + 1 ⇒ f(0) = 1.
– f’(x) = 4x³ + 2x ⇒ f’(0) = 0.
– f’’(x) = 12x² + 2 ⇒ f’’(0) = 2.
– f⁽³⁾(x) = 24x ⇒ f⁽³⁾(0) = 0.
– f⁽⁴⁾(x) = 24 ⇒ f⁽⁴⁾(0) = 24.

Passo 4

Substituindo na fórmula de Taylor:
T4(x) = f(0) + f'(0)1!x + f''(0)2!x^2 + f^(3)(0)3!x^3 + f^(4)(0)4!x^4
T4(x) = 1 + 01x + 22x^2 + 06x^3 + 2424x^4
T4(x) = 1 + x^2 + x^4
Note que, como f já é um polinômio de grau 4, seu desenvolvimento de Taylor até quarta ordem coincide com f.

Passo 5

Passo 6

Resposta

T4(x) = x^4 + x^2 + 1

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