Determine os polinômios de Taylor até quarta ordem, em torno de
, das seguintes funções
(e)
(e)
Passo 1
A função dada é f(x) = x⁴ + x² + 1 e queremos o polinômio de Taylor de ordem 4 em torno de x = 0. O conteúdo aqui é o desenvolvimento de Taylor, e vamos precisar usar a definição que envolve derivadas de f em x = 0 até a quarta ordem.
Passo 2
A definição do polinômio de Taylor de ordem n em torno de x = 0 é
Então precisamos calcular f(0), f’(0), f’’(0), f⁽³⁾(0) e f⁽⁴⁾(0).
Passo 3
Calculando as derivadas:
– f(x) = x⁴ + x² + 1 ⇒ f(0) = 1.
– f’(x) = 4x³ + 2x ⇒ f’(0) = 0.
– f’’(x) = 12x² + 2 ⇒ f’’(0) = 2.
– f⁽³⁾(x) = 24x ⇒ f⁽³⁾(0) = 0.
– f⁽⁴⁾(x) = 24 ⇒ f⁽⁴⁾(0) = 24.
– f(x) = x⁴ + x² + 1 ⇒ f(0) = 1.
– f’(x) = 4x³ + 2x ⇒ f’(0) = 0.
– f’’(x) = 12x² + 2 ⇒ f’’(0) = 2.
– f⁽³⁾(x) = 24x ⇒ f⁽³⁾(0) = 0.
– f⁽⁴⁾(x) = 24 ⇒ f⁽⁴⁾(0) = 24.
Passo 4
Substituindo na fórmula de Taylor:
Note que, como f já é um polinômio de grau 4, seu desenvolvimento de Taylor até quarta ordem coincide com f.