Seja
a sua inversa e
. Mostre que
Passo 1
O enunciado define a função
, garante que ela é invertível (pois
) e pede para mostrar que, dados
, vale
, onde
é a inversa de
. Vamos usar derivadas e o Teorema do Valor Médio.
Passo 2
Calculemos a derivada de
:
Passo 3
Observe que para todo
temos
Passo 4
Logo,
. Isso mostra que
é estritamente crescente (e, portanto, invertível) e que a derivada da inversa satisfaz
Passo 5
Agora aplicamos o Teorema do Valor Médio a
no intervalo de
a
: existe
tal que
Passo 6
Como
, substituímos na expressão acima e obtemos