Seja f(x)=x^5+x^3+2 x+1, g a sua inversa e a, b in R com a. Mostre que
g(b)-g(a) <= 12(b-a)

Passo 1

O enunciado define a função f(x)=x^5+x^3+2x+1, garante que ela é invertível (pois f'(x)>0) e pede para mostrar que, dados a, vale g(b)-g(a)<=tfrac12(b-a), onde g é a inversa de f. Vamos usar derivadas e o Teorema do Valor Médio.

Passo 2

Calculemos a derivada de f:
f'(x)=5x^4+3x^2+2

Passo 3

Observe que para todo xin R temos
5x^4+3x^2+2>=2

Passo 4

Logo, f'(x)>=2>0. Isso mostra que f é estritamente crescente (e, portanto, invertível) e que a derivada da inversa satisfaz
g'(y)=1f'(g(y))<=12

Passo 5

Agora aplicamos o Teorema do Valor Médio a g no intervalo de a a b: existe cin(a,b) tal que
g(b)-g(a)=g'(c),(b-a)

Passo 6

Como g'(c)<=tfrac12, substituímos na expressão acima e obtemos
g(b)-g(a)<=12(b-a)

Resposta

g(b)-g(a)<=tfrac12,(b-a)

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