Seja f(x)=x^7+8 x^3-x^5-8 x. Prove que f^prime(x) tem duas raízes distintas no intervalo ]-1,1[.

Passo 1

Resumo do enunciado e do que vamos usar: a função é
f(x)=x^7+8x^3-x^5-8x
Queremos provar que f'(x) tem duas raízes distintas em ]-1,1[. O conteúdo principal é o Teorema de Rolle. Como f é polinomial, sabemos que ela é contínua em [a,b] e derivável em (a,b) para qualquer intervalo.

Passo 2

Cálculo de f(-1), f(0) e f(1):
f(-1)=(-1)^7+8(-1)^3-(-1)^5-8(-1)=-1-8+1+8=0
f(0)=0
f(1)=1^7+8cdot1^3-1^5-8cdot1=1+8-1-8=0
Logo f(-1)=f(0)=f(1)=0.

Passo 3

Aplicação do Teorema de Rolle em dois subintervalos:
Pelo Teorema de Rolle, em cada intervalo onde f(a)=f(b) existe um ponto c tal que f'(c)=0.
  • Aplicando em [-1,0], obtém-se c1in(-1,0) com f'(c1)=0.
  • Aplicando em [0,1], obtém-se c2in(0,1) com f'(c2)=0.
    Esses dois pontos são distintos e ficam em ]-1,1[.

Resposta

Existem c1in(-1,0) e c2in(0,1), distintos, tais que f'(c1)=0 e f'(c2)=0.

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