Seja
. Prove que
tem duas raízes distintas no intervalo
.
Passo 1
Resumo do enunciado e do que vamos usar: a função é
Queremos provar que
tem duas raízes distintas em
. O conteúdo principal é o Teorema de Rolle. Como
é polinomial, sabemos que ela é contínua em
e derivável em
para qualquer intervalo.
Passo 2
Cálculo de
,
e
:
Logo
.
Passo 3
Aplicação do Teorema de Rolle em dois subintervalos:
Pelo Teorema de Rolle, em cada intervalo onde existe um ponto
tal que
.
Pelo Teorema de Rolle, em cada intervalo onde
- Aplicando em
, obtém-se com . - Aplicando em
, obtém-se com .
Esses dois pontos são distintos e ficam em.
Resposta
Existem
e
, distintos, tais que
e
.