• Verifique se a EDO dada é exata, caso seja, resolva-a. Caso contrário, encontre o fator integrante que torna ela exata e prove que a nova EDO é exata (não precisa resulver).
(-x y sin (x)+2 y cos (x)) d x+2 x cos (x) d y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) é exata. Se for, a gente resolve. Se não for, a gente procura um fator integrante que a torne exata. Para isso, vamos precisar entender o que é uma EDO exata e como encontrar esse tal fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da EDO que a gente tem:
(-x y sin (x) + 2 y cos (x)) , dx + 2 x cos (x) , dy = 0
Aqui, podemos ver que:
  • $ M(x, y) = -x y \sin(x) + 2 y \cos(x) $
  • $ N(x, y) = 2 x \cos(x) $

Passo 3

Agora, para saber se a EDO é exata, precisamos verificar uma condição. A condição é que a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ seja igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ x $. Em outras palavras:
M
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.

Passo 4

Calculando $ \frac{\partial M}{\partial y} $:
partial Mpartial y
Derivando em relação a $ y $:
M(x, y) = -x y sin(x) + 2 y cos(x)
Agora, calculando $ \frac{\partial N}{\partial x} $:
y
Derivando em relação a $ x $:
partial Mpartial y = -x sin(x) + 2 cos(x)

Passo 5

Vamos comparar as derivadas:
partial Mpartial y = -x sin(x) + 2 cos(x)
partial Npartial x = 2 cos(x) - 2 x sin(x)
Vemos que:
partial Mpartial y neq partial Npartial x
Então, a EDO não é exata. Agora, precisamos encontrar um fator integrante que torne a EDO exata.

Passo 6

Vamos tentar encontrar um fator integrante que depende apenas de $ x $, ou seja, $ \mu(x) $. A condição para $ \mu(x) $ é:
x
Substituindo os valores que encontramos:
mu(x)
Então:
mu(x)
Essa é uma equação diferencial para $ \mu(x) $. Podemos resolver separando as variáveis:
dmudx = mu(x) cdot partial Mpartial y - partial Npartial xN
Integrando ambos os lados:
partial Mpartial y - partial Npartial x = (-x sin(x) + 2 cos(x)) - (2 cos(x) - 2 x sin(x)) = x sin(x)
Exponenciando:
dmudx = mu(x) cdot x sin(x)2 x cos(x) = mu(x) cdot sin(x)2 cos(x) = mu(x) cdot 12 tan(x)
Podemos escolher $ K = 1 $ para simplificar, então:
mu(x)

Resposta

A EDO não é exata, mas ao multiplicar por $ \mu(x) = \sec^{1/2}(x) $, ela se torna exata.

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