- Verifique se a EDO dada é exata, caso seja, resolva-a. Caso contrário, encontre o fator integrante que torna ela exata e prove que a nova
é exata (não precisa resulver).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) é exata. Se for, a gente resolve. Se não for, a gente procura um fator integrante que a torne exata. Para isso, vamos precisar entender o que é uma EDO exata e como encontrar esse tal fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da EDO que a gente tem:
Aqui, podemos ver que:
- $ M(x, y) = -x y \sin(x) + 2 y \cos(x) $
- $ N(x, y) = 2 x \cos(x) $
Passo 3
Agora, para saber se a EDO é exata, precisamos verificar uma condição. A condição é que a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ seja igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ x $. Em outras palavras:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.
Passo 4
Calculando $ \frac{\partial M}{\partial y} $:
Derivando em relação a $ y $:
Agora, calculando $ \frac{\partial N}{\partial x} $:
Derivando em relação a $ x $:
Passo 5
Vamos comparar as derivadas:
Vemos que:
Então, a EDO não é exata. Agora, precisamos encontrar um fator integrante que torne a EDO exata.
Passo 6
Vamos tentar encontrar um fator integrante que depende apenas de $ x $, ou seja, $ \mu(x) $. A condição para $ \mu(x) $ é:
Substituindo os valores que encontramos:
Então:
Essa é uma equação diferencial para $ \mu(x) $. Podemos resolver separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Exponenciando:
Podemos escolher $ K = 1 $ para simplificar, então:
Resposta
A EDO não é exata, mas ao multiplicar por $ \mu(x) = \sec^{1/2}(x) $, ela se torna exata.