O enunciado pede para provar por definição que . O conteúdo envolvido é limite de função em um ponto usando a definição (epsilon-delta) e propriedades de valor absoluto. Vamos usar a definição formal: para todo existe tal que se então .
Passo 2
Primeiro, simplificamos a expressão para x neq 0. Note que
x^2|x| = |x|^2|x| = |x|,
então a função assume a forma f(x)=|x| sempre que xneq0.
Passo 3
Agora aplicamos a definição de limite. Dado varepsilon>0, queremos escolher de0 tal que se 0<|x|, então
l|f(x)-0r| = l|,|x|r| = |x| < varepsilon,
Vemos que basta tomar de. Assim, sempre que 0<|x|, temos |f(x)-0|, o que é exatamente a definição de limite.
Passo 4
Portanto, concluímos que limxto0x^2|x|=0 por definição.