Suponha que a região R=(x, y): x >= 1,0 <= y <= 1x é girada em torno de eixo x. Seja V o sólido resultante.
(a) Encontre o volume de V.

Passo 1

O enunciado diz que temos a região R definida por x ≥ 1 e 0 ≤ y ≤ 1/x, girando-a em torno do eixo x. O objetivo é encontrar o volume do sólido V gerado por essa rotação. Vamos usar o método dos discos (seções transversais perpendiculares ao eixo x).

Passo 2

Pelo método dos discos, a área de uma seção num ponto x é A(x)=π[f(x)]², onde f(x)=1/x é o raio do disco. Como x varia de 1 até ∞, escrevemos o volume como o integral impróprio

Passo 3

Escrevendo e calculando:
V = integral1^infty pil(1xr)^2 ,dx = pi integral1^infty x^-2 ,dx = pi l[-1xr]1^infty = pi(0 - (-1)) = pi

Resposta

pi

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