Verifique a continuidade da função f(x) = 1x^2 - 1 em x = -1.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a continuidade da função f(x)=1x^2-1 em x=-1. O conteúdo envolvido é continuidade de função em um ponto e vamos precisar usar a definição de continuidade que exige existência de f(-1) e existência do limite limxto -1f(x), sendo ambos iguais.

Passo 2

Para uma função f ser contínua em x=a precisamos satisfazer três condições:
  1. f(a) está definida.
  2. limxto af(x) existe (e é finito).
  3. limxto af(x)=f(a).

Passo 3

Vamos analisar a existência de f(-1). Substituindo x=-1 no denominador:
(-1)^2-1=1-1=0
Como o denominador fica zero, f(-1)=10 não está definida. Isso já viola a primeira condição de continuidade.

Passo 4

Para entender melhor a natureza da descontinuidade, avaliamos o limite lateral. Quando xto -1^+ ou xto -1^-, o denominador x^2-1 se aproxima de zero por valores positivos ou negativos, e portanto
limxto -1f(x)=limxto -11x^2-1=pminfty,
ou seja, não existe um limite finito.

Passo 5

Como f(-1) não está definido e o limite também não existe de forma finita, a função não satisfaz as condições de continuidade em x=-1.

Resposta

A função f(x)=1x^2-1 não é contínua em x=-1; há uma descontinuidade infinita (assimptota vertical).

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