Prove, por definição, os seguintes limites:
lim x a raizx=raiza se a >= 0.

Passo 1

O enunciado pede para provar, pela definição de limite (ε–δ), que limxto araizx=raiza para a>=0. Vamos usar a definição: dado varepsilon>0, devemos achar de0 tal que, sempre que 0<|x-a| e x>=0, valha |raizx-raiza|.

Passo 2

Vamos tratar primeiro o caso a>0. Observamos a identidade (para x>=0)
|raizx-raiza|=|x-a|raizx+raiza
Para controlar o denominador, escolhemos de. Assim, se |x-a|, segue que x>= a-de=0 e
raizx+raiza>=raiza

Passo 3

Então, sob essa escolha,
|raizx-raiza|=|x-a|raizx+raiza<=|x-a|raiza
Para garantir que isso seja menor que varepsilon, basta pedir
de
ou seja de.

Passo 4

Portanto, tomando
de
garantimos que 0<|x-a| implica |raizx-raiza|. Isso prova o limite quando a>0.

Passo 5

Agora, no caso a=0, queremos mostrar limxto0raizx=0. Dado varepsilon>0, basta escolher
de
Se 0<|x-0|, então 0<= x e assim
|raizx-0|=raizx
que é exatamente o desejado.

Passo 6

Em ambos os casos ( a>0 e a=0) encontramos de em função de varepsilon que satisfaz a definição de limite. Isso completa a prova.

Resposta

Logo, por definição de limite, tem-se
limxto araizx=raiza para todo a>=0.

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