Prove, por definição, os seguintes limites:
se
.
Passo 1
O enunciado pede para provar, pela definição de limite (ε–δ), que
para
. Vamos usar a definição: dado
, devemos achar
tal que, sempre que
e
, valha
.
Passo 2
Vamos tratar primeiro o caso
. Observamos a identidade (para
)
Para controlar o denominador, escolhemos
. Assim, se
, segue que
e
Passo 3
Então, sob essa escolha,
Para garantir que isso seja menor que
, basta pedir
ou seja
.
Passo 4
Portanto, tomando
garantimos que
implica
. Isso prova o limite quando
.
Passo 5
Agora, no caso
, queremos mostrar
. Dado
, basta escolher
Se
, então
e assim
que é exatamente o desejado.
Passo 6
Em ambos os casos (
e
) encontramos
em função de
que satisfaz a definição de limite. Isso completa a prova.
Resposta
Logo, por definição de limite, tem-se