Use o critério da integral para determinar se a série
converge ou diverge
Passo 1
Enunciado resumido: A gente quer saber se a série
converge ou diverge usando o critério da integral. O conteúdo é o teste da integral para séries de termos positivos, e vamos precisar definir a função
e estudar
.
Passo 2
Precisamos verificar que
é positiva e decrescente em
: note que para
temos
e
, logo
. Para monotonicidade, calculemos
:
Assim
é decrescente.
Passo 3
Vamos calcular a integral imprópria:
Observamos que
então
Fazendo
vem que a integral vale
, um valor finito.
Passo 4
Pelo critério da integral, como
é positiva, decrescente em
e
, a série
converge.
Resposta
A série converge pelo critério da integral.