Use o critério da integral para determinar se a série sum1^infty 2 n+3(n^2+3 n)^2 converge ou diverge

Passo 1

Enunciado resumido: A gente quer saber se a série sumn=1^infty 2n+3(n^2+3n)^2 converge ou diverge usando o critério da integral. O conteúdo é o teste da integral para séries de termos positivos, e vamos precisar definir a função f(x)=2x+3(x^2+3x)^2 e estudar integral1^inftyf(x),dx.

Passo 2

Precisamos verificar que f(x) é positiva e decrescente em [1,infty): note que para x>=1 temos 2x+3>0 e x^2+3x>0, logo f(x)>0. Para monotonicidade, calculemos f'(x):
f'(x)=ddxl((2x+3)(x^2+3x)^-2r)= -6,x^2+3x+3(x^2+3x)^3<0(forall x>=1)
Assim f(x) é decrescente.

Passo 3

Vamos calcular a integral imprópria:
integral1^infty2x+3(x^2+3x)^2,dx
Observamos que
ddxl(-1x^2+3xr)=2x+3(x^2+3x)^2,
então
integral1^t2x+3(x^2+3x)^2,dx=l[-1x^2+3xr]1^t= -1t^2+3t+14
Fazendo ttoinfty vem que a integral vale 1/4, um valor finito.

Passo 4

Pelo critério da integral, como f(x) é positiva, decrescente em [1,infty) e integral1^inftyf(x),dx, a série sumn=1^infty 2n+3(n^2+3n)^2 converge.

Resposta

A série converge pelo critério da integral.

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