A superfície que vamos esboçar é dada por
z=4-x^2-y^2
Fazendo z=c, sendo c o nível das curvas de níveis, temos
x^2+y^2=4-c
Ou seja, as curvas de níveis da superfície são dadas por circunferências de raio raiz4-c.
Então em c=0, temos
x^2+y^2=4
Em c=2
x^2+y^2=2
Agora obtendo a curva de intersecção da superfície com o plano x=0, temos
z=4-0^2-u^2

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a superfície z=4 - x^2 - y^2. Esse gráfico é um paraboloide circular voltado para baixo e, para desenhá-lo, vamos precisar de curvas de nível (intersecção com planos z=c) e de curvas de seção (intersecção com planos coordenados).

Passo 2

Para obter as curvas de nível, fixamos z=c. Assim temos
x^2 + y^2 = 4 - c
Isso mostra que, para cada valor de c, a seção horizontal é uma circunferência de raio raiz4-c.

Passo 3

Agora avaliamos alguns níveis importantes:
  • Em c=0:
x^2 + y^2 = 4 implies raio 2
- Em c=2:
x^2 + y^2 = 2 implies raio raiz2
  • Em c=4:
x^2 + y^2 = 0 implies ponto (0,0,4),
o vértice do paraboloide.

Passo 4

Para entender a forma em cortes verticais, intersectamos com o plano x=0. Substituindo na equação original,
z = 4 - 0^2 - y^2 = 4 - y^2,que é uma parábola no plano yz. De modo análogo, no plano y=0 temos
z = 4 - x^2 - 0^2 = 4 - x^2,uma parábola no plano xz.

Passo 5

Com essas informações, descrevemos o esboço: começamos pelo vértice em (0,0,4), desenhamos parábolas nos planos x=0 e y=0 e, entre elas, uma família de círculos de raios que diminuem de 2 (em z=0) até 0 (em z=4).

Resposta

A superfície é um paraboloide circular voltado para baixo com vértice em (0,0,4). Suas curvas de nível são círculos x^2+y^2=4-c, e suas seções pelos planos x=0 e y=0 são parábolas z=4-y^2 e z=4-x^2, respectivamente.

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