A superfície que vamos esboçar é dada por
Fazendo
, sendo
o nível das curvas de níveis, temos
Ou seja, as curvas de níveis da superfície são dadas por circunferências de raio
.
Então em
, temos
Em
Agora obtendo a curva de intersecção da superfície com o plano
, temos
Então em
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a superfície
. Esse gráfico é um paraboloide circular voltado para baixo e, para desenhá-lo, vamos precisar de curvas de nível (intersecção com planos
) e de curvas de seção (intersecção com planos coordenados).
Passo 2
Para obter as curvas de nível, fixamos
. Assim temos
Isso mostra que, para cada valor de
Passo 3
Agora avaliamos alguns níveis importantes:
- Em
:
- Em
- Em
:
o vértice do paraboloide.
Passo 4
Para entender a forma em cortes verticais, intersectamos com o plano
. Substituindo na equação original,
Passo 5
Com essas informações, descrevemos o esboço: começamos pelo vértice em
, desenhamos parábolas nos planos
e
e, entre elas, uma família de círculos de raios que diminuem de 2 (em
) até 0 (em
).
Resposta
A superfície é um paraboloide circular voltado para baixo com vértice em
. Suas curvas de nível são círculos
, e suas seções pelos planos
e
são parábolas
e
, respectivamente.