Resolva a equação
.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede todas as raízes complexas
. Informações relevantes que temos:
- É um polinômio de grau
, logo esperamos exatamente seis raízes complexas (contando multiplicidades). - A incógnita é
. - Não há outros dados; a tarefa é encontrar todas as soluções complexas.
Passo 2
Uma ideia prática que simplifica muito é fazer a substituição
Essa troca é útil porque transforma a equação em uma equação quadrática em
. Substituindo, obtemos
Agora o problema passa a ser: resolver a quadrática acima para
, e depois recuperar
a partir de
.
Passo 3
Resolver a quadrática
. Vou usar a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
onde, para
, aqui
,
,
. Então o discriminante é
Portanto
Esses dois valores podem ser reconhecidos como números complexos no círculo unitário. Vou escrever cada um em forma trigonométrica/exponencial. Note que
logo
De modo análogo,
Portanto os dois valores de
são
Passo 4
Agora precisamos resolver
para cada um desses
. Vou explicar a fórmula geral para raízes
-ésimas de um número complexo:
- Se
(com e um argumento de ), então as raízes de são
Aqui
é a raiz real positiva do módulo e
são os argumentos diferentes que produzem todas as raízes distintas (a adição de
cobre os argumentos equivalentes).
No nosso caso,
(pois
e
têm módulo
) e
. Assim as três raízes de cada
são obtidas por
Passo 5
Aplicando a fórmula ao primeiro valor
(temos
):
Isso produz as três raízes
(Observe que
.)
Agora aplicando ao segundo valor
(posso usar o argumento
em vez de
):
Isso dá as três raízes
Passo 6
Checagem rápida (ideia): como cada
tem módulo
, todas as raízes
também têm módulo
. As seis exponenciais acima são seis pontos distintos no círculo unitário, espaçados conforme os argumentos apresentados, e somam as seis raízes que um polinômio de grau
deve ter. Também podemos ver que nenhuma se repete porque os argumentos listados são distintos modulo
.