Dê a ordem das EDP’s abaixo:
\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}+\frac{\partial^{3} u}{\partial y^{3}}=0

Passo 1

O enunciado dá a seguinte equação envolvendo a função desconhecida u:
\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}+\frac{\partial^{3} u}{\partial y^{3}}=0.
A pergunta é: “Dê a ordem da EDP acima.”
Informações relevantes fornecidas:
  • Há um termo com a derivada parcial primeira de u em relação a x, que aparece elevado ao quadrado: \left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}.
  • Há um termo com a derivada parcial de terceira ordem de u em relação a y: \dfrac{\partial^{3} u}{\partial y^{3}}.
  • Pede-se apenas a ordem da equação parcial dada.

Passo 2

Definição prática que vamos usar (a “aula rápida”): a ordem de uma equação diferencial parcial é a ordem mais alta da derivada parcial de u que aparece na equação.
Explicando devagarinho:
  • “Ordem de uma derivada” é o número de diferenciações realizadas. Por exemplo, \dfrac{\partial u}{\partial x} é derivada de ordem 1, \dfrac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} é ordem 2, e assim por diante.
  • Ao procurar a ordem da EDP, examina-se todas as derivadas parciais presentes e identifica-se a de maior ordem (não importa se aparecem com potências, multiplicadas, ou dentro de funções não-lineares).

Passo 3

Aplicando a definição à equação dada: listar as derivadas que aparecem.
  • O termo \left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^{2} envolve a derivada parcial de ordem 1 em x (isto é, \dfrac{\partial u}{\partial x}). O fato de essa derivada estar elevada ao quadrado não aumenta a ordem da derivada — continua sendo uma derivada de ordem 1.
  • O termo \dfrac{\partial^{3} u}{\partial y^{3}} é explicitamente uma derivada parcial de ordem 3 em y.

Passo 4

Comparando as ordens encontradas:
  • há derivada de ordem 1 (pela parte em x);
  • há derivada de ordem 3 (pela parte em y).
    A maior ordem de derivada que aparece na equação é, portanto, a ordem 3 da derivada \dfrac{\partial^{3}u}{\partial y^{3}}. Segundo a definição, essa é a ordem da EDP.

Passo 5

Dicas rápidas para a prova (como aplicar isso a outras questões):
  • Se aparecer algo como \sin\!\big(\dfrac{\partial^{4}u}{\partial x^{4}}\big), a ordem é 4 — o fato de a derivada estar dentro de uma função não altera a ordem: conta-se a derivada de maior ordem presente.
  • Se só aparecer \left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^{5} e nenhuma derivada de ordem maior, a EDP é de ordem 1.
  • Sempre percorra a equação procurando o maior expoente de diferenciação aplicado a u.

Resposta

3

Exercícios relacionados