Questão 5 [QUESTÃO EXTRA] (4 pts)Escolha um item e resolva
Calcule a integral \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{9} x^{2}} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{9} x^{2}}\, dx
Informações relevantes dadas:
\,A função integranda é e^{-\frac{1}{9}x^{2}}.
\,Os limites de integração são -\infty e +\infty.
\,Precisamos obter o valor numérico exato da integral.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão por substituição linear para transformar o expoente em uma forma padrão. Defino
I=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{9} x^{2}}\, dx.
Faço a substituição \,x=3y. Então \,dx=3\,dy. Os limites não mudam porque quando x\to\pm\infty temos y\to\pm\infty. Substituindo,
I=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{9}(3y)^{2}} \cdot 3\,dy.
Agora simplifico o expoente: \frac{1}{9}(3y)^{2} = \frac{1}{9}\cdot 9y^{2}=y^{2}. Portanto
I=3\int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^{2}}\, dy.
Então basta calcular a integral padrão
J=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^{2}}\, dy,
pois I=3J.

Passo 3

Para calcular J usamos um truque clássico: calcular J^{2} como produto de duas integrais idênticas e interpretar como uma integral dupla. Escrevo
J^{2}=\left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^{2}}\, dy\right)\left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-z^{2}}\, dz\right) =\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(y^{2}+z^{2})}\, dy\, dz.
Aqui introduzi uma variável auxiliar z para representar a segunda integral; a última expressão é uma integral dupla sobre todo o plano (y,z)\in\mathbb{R}^{2}.

Passo 4

É conveniente calcular essa integral dupla em coordenadas polares porque a função depende apenas de y^{2}+z^{2}=r^{2}. Faço a mudança
y=r\cos\theta,\qquad z=r\sin\theta,
e o fator da mudança de variável (Jacobiano) é r, isto é, dy\,dz = r\,dr\,d\theta. Os limites em polares são r\in[0,\infty) e \theta\in[0,2\pi). Assim
J^{2}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty} e^{-r^{2}} \, r\, dr\, d\theta.

Passo 5

Calculo primeiro a integral em r:
faço a substituição u=r^{2}, então du=2r\,dr e r\,dr = \tfrac{1}{2}\,du. Quando r vai de 0 a \infty, u vai de 0 a \infty. Assim
\int_{0}^{\infty} e^{-r^{2}} r\, dr = \int_{0}^{\infty} e^{-u}\,\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} e^{-u}\,du.
A integral \int_{0}^{\infty} e^{-u}\,du vale 1. Portanto
\int_{0}^{\infty} e^{-r^{2}} r\, dr = \frac{1}{2}.

Passo 6

Substituindo o resultado do passo anterior em J^{2}, obtemos
J^{2}=\int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2}\, d\theta = \frac{1}{2}\cdot 2\pi = \pi.
Como J é uma integral de uma função positiva, J>0, então
J=\sqrt{\pi}.

Passo 7

Voltando à integral original, lembramos que I=3J. Então
I=3\sqrt{\pi}.
Comentário rápido (útil para prova): isso também corresponde à fórmula geral
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^{2}}\, dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}\quad\text{para }a>0,
que, para a=\tfrac{1}{9}, dá \sqrt{\dfrac{\pi}{1/9}}=\sqrt{9\pi}=3\sqrt{\pi}.

Resposta

3\sqrt{\pi}

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