Questão 5 [QUESTÃO EXTRA] (4 pts)Escolha um item e resolva
Calcule a integral
.
Calcule a integral
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
Informações relevantes dadas:
A função integranda é
.
Os limites de integração são
e
.
Precisamos obter o valor numérico exato da integral.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão por substituição linear para transformar o expoente em uma forma padrão. Defino
Faço a substituição
. Então
. Os limites não mudam porque quando
temos
. Substituindo,
Agora simplifico o expoente:
. Portanto
Então basta calcular a integral padrão
pois
.
Passo 3
Para calcular
usamos um truque clássico: calcular
como produto de duas integrais idênticas e interpretar como uma integral dupla. Escrevo
Aqui introduzi uma variável auxiliar
para representar a segunda integral; a última expressão é uma integral dupla sobre todo o plano
.
Passo 4
É conveniente calcular essa integral dupla em coordenadas polares porque a função depende apenas de
. Faço a mudança
e o fator da mudança de variável (Jacobiano) é
, isto é,
. Os limites em polares são
e
. Assim
Passo 5
Calculo primeiro a integral em
:
faço a substituição , então
e
. Quando
vai de
a
,
vai de
a
. Assim
faço a substituição
A integral
vale
. Portanto
Passo 6
Substituindo o resultado do passo anterior em
, obtemos
Como
é uma integral de uma função positiva,
, então
Passo 7
Voltando à integral original, lembramos que
. Então
Comentário rápido (útil para prova): isso também corresponde à fórmula geral
que, para
, dá
.