Prove que, se uma reta é perpendicular a um plano, então ela forma ângulo reto com qualquer reta do plano.
Passo 1
Enunciado claro: temos uma reta
que é perpendicular a um plano
. O que exatamente devemos provar é: mostrar que, se
é perpendicular a
(no ponto de interseção), então
forma ângulo reto com qualquer reta
contida em
que passe pelo ponto de interseção. Informações dadas:
- Existe um ponto
tal que e (ou seja, intersecta em ). - A hipótese é que
é perpendicular ao plano em .
Pergunta a provar: para qualquer retacom , mostrar que o ângulo entre e é um ângulo reto.
Passo 2
Definição/hipótese usada (forma útil para provar): vou usar uma versão usual e equivalente da definição de “reta perpendicular a um plano”: se uma reta
é perpendicular ao plano
em
, então existe um par de retas não colineares
e
do plano
passando por
tais que
é perpendicular a
e a
. (Muitos livros tomam essa propriedade como definição ou como uma proposição equivalente.) A partir dessa hipótese, mostraremos que
é perpendicular a qualquer reta
do plano que passe por
.
Passo 3
Passo para a álgebra: assinale vetores diretores.
- Seja
um vetor diretor da reta . - Sejam
e vetores diretores das retas e respectivamente, com , e não colinear com .
Pela hipótese de perpendicularidade ae , temos
e
Aqui
denota o produto escalar (dot product) entre vetores.
Passo 4
Explicando o significado geométrico do produto escalar (para não deixar dúvida): para quaisquer vetores
e
,
onde
é o comprimento (norma) de
,
é a norma de
, e
é o ângulo entre
e
. Portanto, se
e nem
nem
são o vetor zero, então
e
. Ou seja, produto escalar zero significa vetores ortogonais (ângulo reto).
Passo 5
Caracterização do plano pela base de direções: como
e
são não colineares e pertencem a
, os vetores
e
geram (espalham) todas as direções do plano
em torno de
. Em termos vetoriais, qualquer vetor diretor
de qualquer reta
que passe por
pode ser escrito como combinação linear
para alguns escalares
(nem sempre ambos não nulos, dependendo da reta escolhida). Esta é a descrição padrão de uma reta qualquer do plano através de
: sua direção está no subespaço gerado por
e
.
Passo 6
Uso da linearidade do produto escalar: calcule o produto escalar de
com um vetor diretor arbitrário
de uma reta
passando por
. Usando
,
Mas já sabemos que
e
pelas hipóteses, então
Passo 7
Conclusão pelo significado geométrico: como
e
e
são vetores diretores não nulos das retas
e
, isso implica que o ângulo entre
e
é de
. Portanto
é perpendicular à reta arbitrária
do plano
que passa por
.
Passo 8
Comentário exemplificador e empurrãozinho motivacional: um exemplo simples para fixar a intuição é tomar o plano
no espaço e a reta
-axis como
(vetor diretor
). Duas retas do plano
com direções
e
são ortogonais a
. Qualquer direção do plano
é combinação linear de
e
, e o produto escalar com
dá zero, mostrando que o eixo
é perpendicular a qualquer reta do plano
que passe pela origem. Tu consegue aplicar a mesma ideia em qualquer situação — é sempre o mesmo raciocínio.