Prove que, se uma reta é perpendicular a um plano, então ela forma ângulo reto com qualquer reta do plano.

Passo 1

Enunciado claro: temos uma reta l que é perpendicular a um plano \pi. O que exatamente devemos provar é: mostrar que, se l é perpendicular a \pi (no ponto de interseção), então l forma ângulo reto com qualquer reta m contida em \pi que passe pelo ponto de interseção. Informações dadas:
  • Existe um ponto P tal que P\in l e P\in\pi (ou seja, l intersecta \pi em P).
  • A hipótese é que l é perpendicular ao plano \pi em P.
    Pergunta a provar: para qualquer reta m\subset\pi com P\in m, mostrar que o ângulo entre l e m é um ângulo reto.

Passo 2

Definição/hipótese usada (forma útil para provar): vou usar uma versão usual e equivalente da definição de “reta perpendicular a um plano”: se uma reta l é perpendicular ao plano \pi em P, então existe um par de retas não colineares r_1 e r_2 do plano \pi passando por P tais que l é perpendicular a r_1 e a r_2. (Muitos livros tomam essa propriedade como definição ou como uma proposição equivalente.) A partir dessa hipótese, mostraremos que l é perpendicular a qualquer reta m do plano que passe por P.

Passo 3

Passo para a álgebra: assinale vetores diretores.
  • Seja v um vetor diretor da reta l.
  • Sejam u e w vetores diretores das retas r_1 e r_2 respectivamente, com r_1,r_2\subset\pi, P\in r_1,r_2 e r_1 não colinear com r_2.
    Pela hipótese de perpendicularidade a r_1 e r_2, temos
v\cdot u = 0
e
v\cdot w = 0.
Aqui \cdot denota o produto escalar (dot product) entre vetores.

Passo 4

Explicando o significado geométrico do produto escalar (para não deixar dúvida): para quaisquer vetores a e b,
a\cdot b = \|a\|\,\|b\|\cos\theta,
onde \|a\| é o comprimento (norma) de a, \|b\| é a norma de b, e \theta é o ângulo entre a e b. Portanto, se a\cdot b=0 e nem a nem b são o vetor zero, então \cos\theta=0 e \theta=90^\circ. Ou seja, produto escalar zero significa vetores ortogonais (ângulo reto).

Passo 5

Caracterização do plano pela base de direções: como r_1 e r_2 são não colineares e pertencem a \pi, os vetores u e w geram (espalham) todas as direções do plano \pi em torno de P. Em termos vetoriais, qualquer vetor diretor t de qualquer reta m\subset\pi que passe por P pode ser escrito como combinação linear
t = \alpha\,u + \beta\,w
para alguns escalares \alpha,\beta (nem sempre ambos não nulos, dependendo da reta escolhida). Esta é a descrição padrão de uma reta qualquer do plano através de P: sua direção está no subespaço gerado por u e w.

Passo 6

Uso da linearidade do produto escalar: calcule o produto escalar de v com um vetor diretor arbitrário t de uma reta m\subset\pi passando por P. Usando t=\alpha u+\beta w,
v\cdot t = v\cdot(\alpha u+\beta w) = \alpha (v\cdot u) + \beta (v\cdot w).
Mas já sabemos que v\cdot u=0 e v\cdot w=0 pelas hipóteses, então
v\cdot t = \alpha\cdot 0 + \beta\cdot 0 = 0.

Passo 7

Conclusão pelo significado geométrico: como v\cdot t=0 e v e t são vetores diretores não nulos das retas l e m, isso implica que o ângulo entre l e m é de 90^\circ. Portanto l é perpendicular à reta arbitrária m do plano \pi que passa por P.

Passo 8

Comentário exemplificador e empurrãozinho motivacional: um exemplo simples para fixar a intuição é tomar o plano xy no espaço e a reta z-axis como l (vetor diretor v=(0,0,1)). Duas retas do plano xy com direções u=(1,0,0) e w=(0,1,0) são ortogonais a v. Qualquer direção do plano xy é combinação linear de u e w, e o produto escalar com v dá zero, mostrando que o eixo z é perpendicular a qualquer reta do plano xy que passe pela origem. Tu consegue aplicar a mesma ideia em qualquer situação — é sempre o mesmo raciocínio.

Resposta

\text{Seja }l\perp\pi\text{ em }P.\text{ Então }l\perp m\text{ para toda reta }m\subset\pi\text{ com }P\in m.ã

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