Determinar os ângulo internos do triângulo ABC , sendo A(-3,-3,03), B(2,-1,2) e C(1,0,2).

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas dos vértices do triângulo no espaço:
A(-3,,-3,;0,3), B(2,,-1,;2), C(1,,0,;2)
Queremos os ângulos internos ang<= A, ang<= B e ang<= C.
Para isso vamos usar produto escalar entre vetores para obter o cosseno de cada ângulo e depois a função arco-cosseno para converter em graus.

Passo 2

Calcular ang<= A usando os vetores AB e AC.
AB = B - A = (5,;2,;1,7), AC = C - A = (4,;3,;1,7)
O produto escalar é
ABcdotAC =5cdot4+2cdot3+1,7cdot1,7=28,89
As normas são
|AB|=raiz25+4+2,89=raiz31,89approx5,647, |AC|=raiz16+9+2,89=raiz27,89approx5,282
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cosang<= A =28,895,647cdot5,282approx0,9690 ;Longrightarrow; ang<= A=arccos(0,9690)approx14,2^circ

Passo 3

Calcular ang<= B usando os vetores BA e BC.
BA=A-B=(-5,;-2,;-1,7), BC=C-B=(-1,;1,;0)
O produto escalar é
BAcdotBC =(-5)(-1)+(-2)(1)+(-1,7)(0)=3
As normas são
|BA|=|AB|approx5,647, |BC|=raiz1+1+0=raiz2approx1,414
Portanto
cosang<= B =35,647cdot1,414approx0,3757 ;Longrightarrow; ang<= B=arccos(0,3757)approx67,9^circ

Passo 4

Como a soma dos ângulos internos de um triângulo vale 180^circ, temos
ang<= C = 180^circ - (ang<= A + ang<= B) approx180^circ - (14,2^circ + 67,9^circ) approx97,9^circ

Resposta

ang<= Aapprox14,2^circ, ang<= Bapprox67,9^circ, ang<= Capprox97,9^circ

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